第一讲 集合问题深入
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知识清单
一、集合的概念与表示
1．集合中元素的三大特征：①_______；②________；③________．
2．元素与集合的关系：
①a是集合A中的元素，记为________；②a不是集合A中的元素，记为________．
3．常用数集及其表示符号：
4．最特殊的集合：空集∅．
二、集合间的关系
三、集合间的运算
1．并集
（1）A∪B＝B∪A，A∪A＝________，A∪∅＝________；
（2）A____A∪B，B____A∪B；
（3）若A∪B＝B，则A____B.
2．交集
（1）A∩B＝B∩A，A∩A＝_____，A∩∅______；
（2）A____A∩B，B____A∩B；
（3）若A∩B＝B，则A____B.
3．补集
＝________；
＝________．
四、集合运算中的必备常识
在根据包含关系求参数范围时，端点的大小比较，遵循“里实外空不取等”的原则．
精讲精练
题型1.1集合的概念与表示
例题（2021广州市荔湾区西关外国语学校高一上月考）
下列各式中：①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}，正确的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】①集合之间的关系是包含与不包含，故{0}∈{0，1，2}不正确，应为
；②{0，1，2}⊆{2，1，0}，正确；③∅⊆{0，1，2}，正确；④∅不含有元素，故
，故④错误；⑤{0，1}与{(0，1)}的元素形式不一样，因此⑤不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0∈{0}，因此⑥不正确．综上所述，只有②③正确．
变式1（2018广州市真光中学高一上10月月考，13）
若A＝{-2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
课堂精练1（2021广州市花都区黄广中学高一上月考，多选）
已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是（ ）．
A．(1，2)∈B
B．A＝B
C．0∉A
D．(0，0)∉B
课堂精练2（2021广州市番禺区广东仲元中学高一上期中考）
将集合
表示成列举法，正确的是（ ）．
A．{2，3}
B．{(2，3)}
C．{x＝2，y＝3}
D．(2，3)
题型1.2集合间的关系
例题（2021广州市海珠区岭南画派纪念中学高一上月考）
设A＝{n|n＝3k-1，k∈N}，B＝{n|n＝6k-1，k∈N}，则A________B．（填⊆、⊇、＝或≠）
【答案】⊇
【解析】由A＝{n|n＝3k-1，k∈N}，B＝{n|n＝6k-1，k∈N}得，A＝{-1，2，5，8，11…}，B＝{-1，5，11…}，所以A⊇B．
课堂精练1（2021广州市海珠区广州市第五中学高一上月考）
若集合
，k∈Z}，
，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为（ ）．
A．A∩B＝∅
B．A∪B≠B
C．A＝B
D．A≠B
变式1（2021广州市海珠区岭南画派纪念中学高一上月考）
设a，b∈R，集合
，则b-a＝（ ）．
A．1
B．-1
C．2
D．-2
题型1.3集合间的交并补运算
例题（2021梅州市兴宁市第一中学高一上期中考）
已知A＝{x∈N||x-1|≤1}，
，则集合A∩B的真子集个数为（ ）．
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【解析】集合A＝{x∈N||x-1|≤1}，
；
所以A＝{0，1，2}，B＝{x|-1≤x≤1}；
所以A∩B＝{0，1}；
所以A∩B的真子集个数为22-1＝3．
变式1（2019广州市广州大学附属中学高一上10月月考）
集合
，则A∩B＝（ ）．
A．(-∞，0)∪(0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．∅
D．有限集
课堂精练1（2021广州市广州大学附属中学高一上月考，多选）
设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）．
A．A⋂B＝{0，1}
B．
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
课堂精练2（2020广州市第十六中学高一上期中考，1）
设全集U＝R，集合M＝{x|x﹤1}，N＝{x|x﹥2}，则
．
A．{x|x﹥2}
B．{x|x≥1}
C．{x|1﹤x﹤2}
D．{x|x≥2}
变式2（2021广州市广东实验中学高三下期末考）
已知集合A＝{(x，y)|x＋ay-a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋(2a＋3)y-1＝0}．若A⋂B＝∅，则实数a＝（ ）．
A．3
B．-1
C．3或-1
D．-3或1
题型1.4集合关系中的含参问题—不等式型
例题（2019广州市铁一中学高一上第3周周测）
设集合A＝{x|1﹤x﹤2}，B＝{x|x﹤a}，且A⊆B，则实数a的范围是（ ）．
A．a≥2
B．a﹥2
C．a≤1
D．a﹤2
【答案】A
【解析】因为集合A＝{x|1﹤x﹤2}，B＝{x|x﹤a}，且A⊆B，所以a≥2．故A选项是正确的．
变式1（2021广州市海珠区岭南画派纪念中学高一上月考，节选）
设集合B＝{x|x2-10x＋16﹤0}，已知C＝{x|a﹤x﹤a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围构成的集合．
变式2（2020广州市第十六中学高一上期中考，18节选）
已知集合B＝{x|1﹤x﹤5}，C＝{x|m-1﹤x≤2m}，若C⊆B，求实数m的取值范围．
课堂精练1（2020广州市真光中学高一上入学考，21）
已知集合A＝{x|-3≤x≤4}，B＝{x|2m-1﹤x﹤m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．
变式3（2020广州市越秀区高一上期末考，节选）
已知集合A＝{x|x2-4x﹤0}，B＝{x|m≤x≤3m-2}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
课堂精练2[2021广州市黄埔区第二中学（科学城校区）高一上月考]
已知集合A＝{x|-2﹤x﹤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m-1}．若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
题型1.5集合关系中的含参问题—方程型
例题（2021广州市华侨中学高一上期中考，多选）
已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的可能取值为（ ）．
A．1
B．-1
C．0
D．2
【答案】ABC
【解析】由已知条件得P＝{-1，1}．当a＝0时，Q＝∅，满足Q⊆P；当a≠0时，
，则
或
，得a＝-1或a＝1．
所以a∈{0，-1，1}．故选ABC．
课堂精练1（2021广州市海珠区第五中学高一上月考，多选）
若集合M＝{x|x2＋x-6＝0}，N＝{x|ax-1＝0}，且N⊆M，则实数a的值可能为（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
变式1（2021广州市荔湾区真光中学高一上月考）
设A＝{x|x2-5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋(2m＋1)x＋m2-3＝0}，若B∩A＝B，求实数m的取值范围．
课堂精练2（2021广州市越秀区第二中学高一上月考）
已知集合A＝{x|x2-3x＋2＝0}，B＝{x|x2-mx＋m-1＝0}，若A⋂B＝B，求实数m的取值范围．
竿头日进
题型2.1集合运算中含参问题
能力提升1（2019广州市广州大学附属中学高一上10月月考）
已知全集U＝R，集合A＝{x|x2-x-6﹤0}，B＝{x|x2＋2x-8﹥0}，C＝{x|(x-a)(x-3a)﹤0}，若
，求实数a的取值范围．
能力提升2（2021广州市协和高级中学高三上月考）
已知集合A＝{x|x﹥2}，B＝{x|x﹤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为（ ）．
A．(-∞，2]
B．(1，＋∞)
C．(-∞，2)
D．(2，＋∞)
能力提升3（2021广州市海珠区第五中学高一上单元测）
已知集合
，B＝{x|0﹤x﹤1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
一飞冲天
头脑风暴1（2022广州市白云中学高一上月考）
解答下列问题：
（1）已知a﹥b﹥c﹥0，求证：
；
（2）若
，B＝{y|y＝b2-3a-4c＋2}，C＝{z|z＝c2＋a-b＋1}，求证∀a，b，c∈R，(A∪B∪C)∩R＋≠∅．
百炼成钢
A组厚积薄发
1．（2021广州市越秀区铁一中学高一上月考）
下列表述正确的是（ ）．
A．a⊆{a}
B．{A，B}⊆{b，a}
C．∅⊆{-1，1}
D．0∈∅
2．（2021广州市越秀区铁一中学高一上期中考）
已知集合{-1，0，a2}＝{0，a，b}，则(a＋b)2021的值为________．
3．（2021广州市越秀区执信中学高三上月考）
已知集合A＝{x|x2-x-2﹤0}，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．A∪B＝R
B．
C．
D．
4．（2021广州市海珠区第四十一中学高三下月考）
已知集合M＝{x|y＝ln(2-x)}，
，全集I＝R，则图中阴影部分表示的集合（ ）．
A．[1，＋∞)
B．[1，2)
C．[-1，＋∞)
D．[2，＋∞)
5．（2020广州市越秀区高一上月考）
设A＝{x|x2-8x＋15＝0}，B＝{x|ax-1＝0}，若A⋂B＝B，求实数a组成的集合的子集个数（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．8
6．（2020广州市铁一中学高一上第一次月考，17）
设集合
，C＝{x|2a≤x≤a＋3}．若A∪C＝A，求实数a的取值范围．
B组披荆斩棘
1．（2020佛山市第一中学高一上第一次月考，17）
已知集合A＝{x|a-1﹤x﹤2a＋1}，B＝{x|x2-x﹤0}.
（1）若a＝1，求A∪B，
；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
2．（2020广州市铁一、广外、广大附三校联考高一上期中考，15）
已知集合A＝{x|x2-3x＋2＝0}，B＝{x|x2-mx＋2＝0}，若A∩B＝B，求m的取值范围．
C组一飞冲天
1．（2020广州市广东外语外贸大学附设南沙学校高一上期中考）
已知集合A＝{x|x2-4x-5﹤0}，B＝{x|x2-(3m＋4)x＋2m2＋8m﹤0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．