1.2.3　白噪声过程和谐波过程

信号在时域与频域的分布特点是：在时域分布越宽，则在频域分布越窄；反之，在时域分布越窄，则在频域分布越宽。具体地说，如果信号在时间上压缩为原来的，则其频谱在频域中要扩展a倍。例如，信号cos4πft是cos2πft在时间上压缩为原来的，相应地，cos4πft的频谱位于±2f之间，而cos2πft的频谱位于±f 之间，相当于cos4πft是cos2πft在频域扩展了2倍。这一性质说明，信号在时域中的压缩导致了频域中频谱的扩展；反之，信号在时域中的扩展将导致频域中频谱的压缩。

因为相关函数与功率谱是傅里叶变换对，所以相关性的强弱决定了功率谱分布。如果随机信号的相关性较强，则自相关函数曲线随时延增加下降慢，这相当于在时域分布宽，故其功率谱窄，对应窄带过程；反之，如果随机信号的相关性较弱，则自相关函数曲线随时延增加下降快，这相当于在时域分布窄，故其功率谱宽，对应宽带过程，如图1.19所示。

相关函数与功率谱的这一关系也说明，对窄带过程，自相关函数曲线随时延增加下降慢，时延大的自相关函数仍含有较多的信息；而对宽带过程，自相关函数曲线随时延增加下降很快，时延大的自相关函数含有的信息很少，如果计算中用到时延大的相关函数效果就差。宽带过程和窄带过程的两种极端情况是白噪声过程和谐波过程。下面就来讨论这两种过程。

1．白噪声过程

一个平稳随机过程，如果其均值为0，且功率谱在|ω|≤π范围内始终为一常数，则称该过程为白噪声过程，用w(n)表示。如果用Sw(ejω)和分别表示白噪声过程的功率谱和方差，则有

“白噪声”这个名称来源于白光。牛顿指出，白光包含了所有频率的光波，且在全部可见光谱范围内基本上是连续的、均匀的。白噪声的功率谱在整个频域内是均匀分布的，也就是说，白噪声的所有频率分量均具有相同的功率。不符合此条件的噪声为色噪声或非白噪声。

由维纳-辛钦定理，白噪声的自相关函数

是在m=0处的线脉冲。此线脉冲表明，白噪声过程在任意两个不同时刻上的随机变量都是不相关的。于是可以得出结论：白噪声过程的相关性最弱，为线脉冲，但其功率谱最宽，为平谱。

白噪声过程只针对谱密度结构，并未涉及概率分布，因此它可以是不同分布的白噪声，如高斯（正态）分布的白噪声、均匀分布的白噪声、瑞利分布的白噪声等。如果是高斯分布的白噪声，则随机变量不相关与统计独立是等效的，所以在任意两个不同时刻上的随机变量相互独立，这种序列的过去值不能给其当前值和未来值提供任何信息。

白噪声是一种理想化的噪声模型，在实际中，随机过程通过一个系统时，只要过程的功率谱在比系统带宽大得多的区间内近似均匀分布，就可当作白噪声处理。

由于白噪声是信号处理中最具有代表性的噪声信号，因此人们提出了很多近似产生白噪声的方法。例如，可以利用程序产生不同均值和不同方差的“伪白噪”序列，它们既可以服从均匀分布，也可以服从高斯分布。

2．谐波过程

谐波过程就是随机初相正弦序列。下面就实正弦序列和复正弦序列两种情况进行讨论。

（1）x(n)由M个实正弦信号组成

式中，Ak、ωk是常数，分别为第k个正弦信号的幅度和频率，初相φk是在[0,2π)内均匀分布的随机变量。因为谐波过程具有各态历经性，所以可用时间平均（用At表示）代替集合平均。下面用时间平均来计算x(n)的自相关函数Rx(m)。

用xk(n)和Rk(m)分别表示x(n)中第k个正弦信号及其自相关函数，则有

式（1.2.26）中的第一项与n无关，相当于常数，第二项是n的余弦函数，对时间求平均应等于零，于是可得式（1.2.27），它是与原序列具有相同频率的正弦序列。

当然，也可以用自相关函数的定义求xk(n)的自相关函数。由自相关函数的定义有

可见，按集合平均求出的结果与前面按时间平均求出的结果相同，这一结论也说明了随机初相正弦序列不仅是平稳的，而且是各态历经的。

于是可得x(n)的自相关函数为

其功率谱Sx(ejω)是Rx(m)的傅里叶变换

将式（1.2.28）表示为

将上式代入式（1.2.29），可得

从式（1.2.30）可以看出，实谐波过程的功率谱由位于{±ωk}，k=1,2,…,M的2M个线脉冲（δ函数）组成。

（2）x(n)由M个复正弦信号组成

式中，Ak、ωk是常数，分别为第k个正弦信号的幅度和频率，初相φk是在[0,2π)内均匀分布的随机变量。

x(n)的自相关函数为

其功率谱为

从式（1.2.32）可以看出，复谐波过程的功率谱由位于{ωk}，k=1,2,…,M的M个线脉冲（δ函数）组成。

综上所述可以得出结论：谐波过程的相关性最强，为相同频率的正弦波，但其功率谱最窄，为线谱。