1.2 电路基本元件及连接方式

1.2.1 欧姆定律

1827年，德国物理学家欧姆通过大量实验，总结出了在电阻元件电路中，流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比，这就是欧姆定律，用公式表达为

当电压和电流的参考方向关联时，U=RI。

当电压和电流的参考方向非关联时，U=-RI。

【例1-2-1】 假设某人人体最小电阻为800Ω，该人通过电流为50mA时，会感到呼吸困难，不能自主摆脱电源，试求此人人体安全工作电压。

解：由欧姆定律可知：U=RI=800Ω×0.05A=40V，即此人的安全工作电压应不高于40V。

通常对于不同的人体、场合，安全电压的规定是不相同的。人是否安全与人体电阻大小、触电时间长短、工作环境、人与带电体的接触面积和接触压力等有关，所以即使在规定的安全电压下工作，也不可粗心大意。

1.2.2 电路基本元件

常见的电路元件有无源元件（电阻元件、电感元件、电容元件等）和有源元件（电压源和电流源）。电路是由电路元件连接而成的，电路元件电流与电压之间的关系叫作伏安关系（也叫伏安特性），简写VAR，其反映了元件的基本性质，它和后续将要学习的基尔霍夫定律构成了电路分析的基础。

1.电阻元件

电阻具有阻碍电流（或电荷）流动的能力，用符号R来表示，其基本单位为欧[姆]（Ω），常用单位还有千欧（kΩ）及兆欧（MΩ）。工程实际中广泛使用着各种电阻、电炉、白炽灯等元器件，一般情况下它们都可用电阻元件来表示。

物理学中对于长直导线的电阻的计算公式为

式中，R为电阻值，单位为Ω；l为导线的长度，单位为m；S为导线的截面积，单位为m2；ρ为导线材料的电阻率，单位为Ω·m；γ是材料的电导率，单位为S/m。ρ、γ的值与导线材料有关，可在有关手册中查到。电阻值是物质的属性，跟电阻接不接入电路没有关系，电阻不接入电路中也有电阻值，说明电阻值跟电阻两端电压和流过电阻的电流没有关系。

在任何时刻，电阻元件两端电压与其电流关系都服从欧姆定律的电阻元件叫作线性电阻元件，不服从欧姆定律的电阻元件叫作非线性电阻元件。表示一个元件电压与电流之间关系的曲线称为元件的伏安特性曲线。由欧姆定律公式可知，线性电阻的伏安特性曲线是一条经过坐标原点的直线，如图1-2-2所示。非线性电阻的伏安特性曲线是一条经过坐标原点的曲线如图1-2-3所示。本书谈论的电阻元件主要是线性电阻元件。

电阻器是用碳膜、金属氧化物等材料制成的，电工中常用电阻器的实体及电路模型如图1-2-4所示。

电阻R的倒数称为电导，用G表示，即

电导的单位为西门子（S）。同一个电阻元件既可用电阻R表示，也可用电导G表示。电阻元件的伏安关系如下：

当电阻元件电压和电流的参考方向关联时：U=RI或I=UG。

当电阻元件电压和电流的参考方向非关联时：U=-RI或I=-UG。

无论是关联还是非关联情况下，电阻的功率P总是正值，即总是在消耗功率，所以电阻元件是耗能元件。电阻元件的功率计算公式为

由式（1-2-4）可得电阻消耗的电能W=Pt=UIt=I2Rt=U2t/R。

【例1-2-2】 应用欧姆定律对图1-2-5电路列出欧姆定律公式，并求出电阻R。

解：a）。

b）。

c）。

d）。

【例1-2-3】 某学校教室共有200盏电灯，每盏灯的功率为100W，那么全部灯使用2h共消耗多少电能？若1kW·h电费为0.56元，应付多少电费？

解：全部电灯的功率为P=200×100W=20000W=20kW；使用2h的电能为W=Pt=20×2kW·h=40kW·h，应付的费用为40×0.56元=22.4元。

2.电容元件

工程实际中使用的电容元件种类繁多，外形各不相同，但它们的基本结构是一致的，通常由具有一定间隙、中间充满介质（如空气、蜡纸、云母片、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属极板（或箔、膜）构成，从极板上引出电极后，可将电容元件接到电路中。这样设计制造出来的电容元件体积小、电容效应大，由于电场局限在两个极板之间，不易受其他因素影响，因此电容元件具有固定的量值。如果忽略这些元件的介质损耗和漏电流，可以用储存电场能量的理想电容元件作为它们的电路模型。将电容元件接到电源上时，电容的两个极板上分别聚集等量异号的电荷，并在介质中建立起电场。同一个电容元件，两端电压u不同时，两极板上聚集的电荷量也不同。把单位电压下聚集的电荷量定义为电容器的电容量，简称电容，符号为C，即

国际单位制中，C的基本单位是法[拉]（F），常用的单位还有微法（μF）和皮法（pF）。线性电容的电容量只与其本身的几何尺寸及内部介质情况有关，而与其端电压无关，本书涉及的电容元件均为线性元件。电容的实体及电路模型如图1-2-6所示。

电容端电压发生变化时，极板上的电荷也会相应发生变化，在与电容相连的导线中就有因电荷移动而形成的电流（介质中的电场变化形成位移电流，因而整个电容电路中的电流仍是连续的）。u和i关联参考方向下，当u增大时，du/dt＞0，则dq/dt＞0，说明有正电荷向正极板移动，i＞0，此时电容元件处于充电状态。当u减小时，du/dt＜0，则dq/dt＜0，说明有正电荷远离正极板移动，i＜0，此时电容元件处于放电状态。根据电流的定义并将式（1-2-5）代入得到当电容电压和电流关联情况下电容元件的伏安关系为

从电容的电压与电流的伏安关系可以看出两者是微分函数关系，是变化的，即动态的，所以电容元件又称为动态元件。在电路中，储能元件和动态元件是同一个含义。

例如，1s时1mF电容两端电压为u₁=5V，2s时其两端的电压变为u₂=10V，则

du=Δu=u₂-u₁=10V-5V=5V，dt=Δt=t₂-t₁=2s-1s=1s

电流的瞬时值i=Cdu/dt=1×10-3×5/1mA=5mA。

由以上分析可知，电容电路中是否有持续电流，取决于电容两端外加电压是否不断变化。在交流电压作用下，由于交流电压的大小和方向随时间不断变化使电容器反复充、放电，电路中就产生了持续电流；在直流电压作用下，仅当开关接通电路的短时间内，电容上的外加电压才会发生变化，之后电压保持不变，所以电容支路中只能产生瞬时电流，不能产生持续电流。

电容在交流电压作用下能产生持续电流，在直流作用下du/dt=0，不能产生持续电流，这就是电容器“隔直流、通交流”的原因，但必须明确，这里所指的交流电流是电容器反复充电、放电所形成的电流，并非电荷直接通过电容器中的绝缘介质。综上所述，电容元件某瞬间的电流正比于该瞬间电容电压的变化率，而不是由该瞬间的电压值决定的，当电容两端电压不变化时，电流为零，电容元件相当于开路。

电源对电容器充电时，电容器从电源吸收电能，在放电时把充电时储存在电场中的能量释放出来。根据能量守恒原理，储存多少能量，就能释放出多少能量，那么如何计算这个能量呢？储存于电容元件中的电场能量为

【例1-2-4】 一电容器C=2μF，充电后电压变为500V，求此时电容器储存的电能。

解：。

3.电感元件

电感器通常为电感线圈，使用电阻忽略为零的导线绕制的电感线圈称为理想电感线圈，又叫作电感元件。电感元件是一种理想元件，当电流通过电感元件时，在它的周围会产生磁场，并把电能转化为磁场能量储存起来。电感元件的线圈中通以电流i_L时，线圈内部将产生磁通，若线圈匝数为N，而且绕制得非常紧密，可认为各匝线圈的磁通Φ_L相同，则线圈的全磁通（或称磁链）为

式中，ψ_L和Φ_L在国际单位制中的基本单位均为韦伯（Wb）。它们都是由流过线圈本身的电流产生的，所以分别称为自感磁链和自感磁通。线圈电流i_L及磁链ψ_L的参考方向符合右手螺旋定则。把单位电流下产生的自感磁链定义为线圈的自感系数，或称为电感L，即

在国际单位制中，L的单位为亨[利]（H），常用单位还有毫亨（mH）和微亨（μH）。

线性电感元件L值与电流大小无关，只与线圈的形状、匝数及几何尺寸有关。非线性电感元件L值随电流的变化而变化。本书讨论的电感元件主要是线性电感元件，电感的实体及电路模型如图1-2-7所示。

当电感元件中电流变化时，磁链也随之变化，根据电磁感应定律，电感元件中将产生感应电动势。这种由于电感元件本身的电流变化而产生的感应电动势称为自感电动势e。

在交变电作用下，当电感两端的电压与流过电感的电流关联时，电感元件感应电动势和电感两端电压与流过电感的电流的伏安关系为

从该伏安关系可以看出两者也是微分函数关系，是变化的，即动态的，所以电感元件也称为动态元件。

式（1-2-10）表明，电感元件某瞬间的电压不是由此瞬间的电流值决定的，而是正比于此瞬间的电流变化率。只有通过电感线圈的电流变化时，电感两端才有电压。所以，在直流电路中，即使电感上有电流通过，但由于di=0，所以u=Ldi/dt=0V，此时电感相当于短路，同理，在电感元件两端也不会产生感应电动势。

电能和磁能会互相转化，但能量是守恒的，不会在转换中增加或消灭。当电流通过导体时，便在导体周围建立磁场，将电能转换为磁能。反之，在变化磁场中的导体内部也会产生感应电流，即将磁能转换为电能。当电流通过电感元件时，储存于电感元件中的磁场能量为

【例1-2-5】 一电感线圈，其电感L=3.82mH，当通过的电流为1600A时，试求此时线圈中储存的磁场能量。

解：。

4.电压源

（1）理想电压源 直流理想电压源端电压U恒等于电压U_S或电动势E，交流理想电压源端电压按正弦规律变化，无论是直流理想电压源还是交流理想电压源其内阻都为零，流过其自身的电流i是任意的，由负载电阻R_L及电源电压U_S确定。直流理想电压源的符号及其输出电压与输出电流的关系（伏安特性）如图1-2-8所示。

直流理想电压源的特点是：端电压始终恒定，等于直流电压，输出电流是任意的，即随负载（外电路）的改变而改变，所以直流理想电压源也叫恒压源。

电池是常见的直流电压源。如果电池本身没有内阻，即没有能量损耗，电池的端电压恒定，电池也是理想电压源。

【例1-2-6】 一个负载R_L接于10V的恒压源上，如图1-2-9所示，求：当R_L=10Ω、R_L=100Ω、R_L=∞时，通过恒压源的电流大小及恒电源输出电压U_ab的大小。

解：选定电压、电流参考方向如图1-2-9所示。

1）当R_L=10Ω时，I=10/10A=1A，U_ab=10V。

2）当R_L=100Ω时，I=10/100A=0.1A，U_ab=10V。

3）当R_L=∞时，I=0A，U_ab=10V。

可见，通过直流理想电压源的电流随负载电阻变化而变化，而直流理想电压源的端电压保持不变。

（2）实际电压源 理想电压源内阻为零，这在实际生活中是不存在的，实际电压源在对外提供功率时，不可避免地存在内部功率损耗。有的电压源内部功率损耗小，有的电压源内部功率损耗大，如果实际电压源内阻对于研究问题来说可以小到忽略不计，实际电压源就可以看成是理想电压源，常见电压源实物模型如图1-2-10所示。实际电压源与负载连接形成闭合回路后，电路中会产生电流，电流在实际电压源内阻上将有电压产生，对于直流电压源来说，如果用万用表合适的直流电压档对直流电压源两端电压进行测试，会发现测试电压值不再等于实际电压源开路时的电压值，即实际电压源与负载连接形成回路后其输出端电压下降，而且实际电压源内阻越大，实际电压源带负载后端电压下降越快，负载得到的电压越小，即电压源带负载能力越小。实际直流电压源的电路模型如图1-2-11所示，实际直流电压源带负载电路模型及伏安特性曲线如图1-2-12所示。

如图1-2-12所示，电压源U_S和U之间的关系为

U=U_S-R_iI且

这就是通常所说的全电路的欧姆定律。

全电路即一个包含电源和负载电阻的无分支闭合回路。

【例1-2-7】 某实际直流电压源开路时端电压U_S=3V，带负载R₁=9.6Ω后端电压U₁=2.88V，试求该实际电压源带9.6Ω负载后电路中的电流I₁和电压源内阻R_i。若该实际电压源内阻保持不变，负载电阻变为0.4Ω时，求实际电压源带负载后电路中的电流I₂，及此时实际电压源输出的端电压U₂。

解：当负载电阻为9.6Ω时

当负载电阻为0.4Ω时

由以上分析可知，实际电压源带负载越大，实际电压源输出的端电压越大，负载获得电压越大。

5.电流源

（1）理想电流源 直流理想电流源电流I恒等于电流I_S，交流理想电流源电流是按正弦规律变化，无论是直流理想电流源还是交流理想电流源其内阻都为无穷大，而其两端的电压u是任意的，由负载电阻R_L及电流I_S确定。无论外电路的电阻大小，都能向外电路输送恒定或按正弦规律变化电流的电源称为理想电流源。直流理想电流源的符号及其伏安特性曲线如图1-2-13所示。

直流理想电流源的特点是：输出电流恒定不变；端电压是任意的，即随负载不同而不同，所以直流理想电流源也叫恒流源。

光电池就是一种电流源，在一定光照度的光线照射下，光电池将产生一定值的电流。

（2）实际电流源 理想电流源实际上是不存在的。以光电池为例，由光激发产生的电流，并不能全部流入外电路，其中一部分将在光电池内部流动。实际电流源可以用一个理想电流源I_S和内阻R_i并联的模型来表示，内阻R_i表明电源内部的分流效应，实际直流电流源实物模型如图1-2-14所示，其电路模型如图1-2-15所示，其带负载电路模型及伏安特性曲线如图1-2-16所示。

如图1-2-16所示，当直流电流源与负载电阻相接时，输出电流I为

上式说明，通过负载的电流I小于恒流源I_S，端电压U一定的情况下，实际电流源内阻越大，实际电流源内部电阻R_i的分流作用越小，也就越接近理想电流源。显然，当实际电流源短路时，其输出端电压U等于零，从而使实际电流源的短路电流等于恒流源电流I_S。

【例1-2-8】 计算图1-2-17所示电路中R分别为3Ω和5Ω时，电阻上的电压及电流源的端电压。

解：根据恒流源的基本性质，其电流为定值且与外电路无关，所以流过电阻R的电流为恒流源的电流，即1A。当R=3Ω时电阻两端的电压为U_R1=IR=3×1V=3V；当R=5Ω时电阻两端的电压为U_R2=IR=5×1V=5V。

电流源的端电压由与之相连接的外电路决定，设其端电压极性如图1-2-17中U_ab所示，则当R=3Ω时电流源的端电压为U_ab1=3×1V+2V=5V；当R=5Ω时电流源的端电压为U_ab2=5×1V+2V=7V。可见理想电流源的输出电压随着外接负载的变化而变化。

综上所述，理想电压源的输出电压及理想电流源的输出电流都不随外电路的变化而变化。它们都是独立电源，在电路中作为电源或信号源，又称“激励”。在它们的作用下，电路其他元件将产生相应电压和电流，这些电压和电流称为“响应”。

1.2.3 元件串并联与混联电路

在电路中，元件的连接形式多种多样，常见的元件连接方式有串联、并联和混联等。

1.元件串联电路

在电路中，若干元件依次连接中间没有支路的连接方式称为元件的串联。元件串联电路在现实生活中处处可见，例如将干电池、开关和小灯珠顺次相连，就组成了一个手电筒电路，这个电路就是串联电路。在串联电路中，电流只有一条路径，通过电路中各元件的电流处处相等，这是串联电路的重要特征。为了分析方便，下面重点对电阻的串联电路进行分析，R₁、R₂和R₃三个电阻组成的串联电路如图1-2-18所示。

电阻串联电路具有以下特点：

1）在电阻串联电路中，无论各电阻的数值是否相等，通过各电阻的电流为同一电流，这是判断电阻是否串联的一个重要依据。

2）根据全电路欧姆定律，电阻串联电路两端的总电压等于各电阻两端分电压之和，电阻串联电路的总电压大于任何一个分电压。

3）串联电路的总电阻（等效电阻）等于各电阻串联之和，电阻串联电路的总电阻大于任何一个分电阻。

4）电阻串联电路中，各电阻上的电压与它们的电阻值成正比。

上述特点表明电阻串联时，电阻越大分配到的电压越大，电阻越小分配到的电压越小，这就是电阻串联电路的分压原理。通常式（1-2-15）又称为电阻串联的分压公式。

5）电阻串联电路的总功率P等于消耗在各串联电阻上的功率之和，且电阻值大的消耗的功率大。

【例1-2-9】 一个继电器的线圈电阻为200Ω，允许流过的电流为30mA。现要将其接到24V的直流电压上，需要多大的限流电阻？

解：将继电器线圈直接连接到24V的直流电压上时通过的电流为I=24/200A=120mA，显然大大超过继电器的允许电流30mA，不加限流电阻继电器的线圈在120mA的大电流下很快就会烧毁。为了保护继电器的线圈，需串联一个电阻以降低电流。

因串联电路中电流处处相等，所以总电流最大只能为30mA，据此可以求出串联电路的总电阻，然后用总电阻减去继电器线圈电阻即可得到限流电阻大小，计算过程为

所以需要串联600Ω的限流电阻。

【例1-2-10】 有一个磁电系仪表，其表头满偏电流I_g=100μA，内阻R_g=1kΩ，若将该表头改造成量程为10V的电压表，需要串联多大的附加电阻？

解：如图1-2-19所示，表头最大电流即满偏电流为100μA，所以改造后表头能流过电流的最大值为100μA。根据欧姆定律可求出串联电路的总电阻，用总电阻减去表头内阻即可得到附加电阻大小，详细计算过程为

从例1-2-10可知，串联电阻常用于限制流过电气设备的总电流方面，防止因电流超过电气设备的额定电流而烧毁电气设备。

2.元件并联电路

在电路中，将若干元件的一端共同连在电路的一点上，把它们的另一端共同连在另一点上，这种连接方式称为元件的并联。图1-2-20a所示为两个电阻的并联电路，图1-2-20b所示为其等效电路。现实生活中元件并联的实例很多，例如一般家庭电路中电灯的连接方式即为并联，任何一个灯坏了，其他灯仍然可以正常工作。下面以电阻并联电路为例进行元件并联电路的分析。

电阻并联电路具有以下特点：

1）加在各并联电阻两端的电压为同一电压，即各分支电阻两端电压相等。

2）电路的总电流等于各并联电阻分电流之和，并联电路的总电流大于任何一个分电流。

3）电路的总电阻（等效电阻）R的倒数等于各电阻的倒数之和，并联电路的总电阻比任何一个并联电阻的电阻值都小。

4）流过各并联电阻的电流与其电阻值成反比。

式（1-2-20）表明电阻并联时，电阻值越大的电阻分配到的电流越小，电阻值越小的电阻分配到的电流越大，这就是并联电阻电路的分流原理。

5）并联电阻电路的总功率P等于消耗在各并联电阻上的功率之和，且电阻值大者消耗的功率小。

【例1-2-11】 有一个磁电系仪表，其表头满偏电流I_g=100μA，内阻R_g=1.6kΩ，若将该表头扩大成量程为1mA的电流表，需要并联多大的分流电阻？

解：设图1-2-21中的电流I最大值为1mA，则根据满偏电流可得表头的满偏电压U=I_gR_g=100×10-6×1.6×103V=0.16V，因并联电路中各支路两端的电压相等，根据欧姆定律可得分流电阻R_f=U/(I-I_g)=0.16/(1×10-3-100×10-6)Ω=177.8Ω，即在表头两端并联一个177.8Ω的分流电阻R_f，可将该磁电系仪表量程扩大为1mA。

3.元件混联电路

电路中有串联也有并联的电路叫作混联电路，如图1-2-22所示。

混联电路是由串联电路和并联电路组合在一起的特殊电路。混联电路的优点是：电路中既有串联电路又有并联电路，并联电路可以使并联支路上某个用电器单独工作或不工作。混联电路的缺点：如果干路上有一个用电器损坏或断路会导致整个电路无效。对混联电路的分析需要反复使用串并联电路的特点，将混联电路进行化简，重点使用串联分压、并联分流和欧姆定律公式求各支路电压和电流。求混联电阻电路两点间的等效电阻时，要充分理解和使用等电位点的概念，将电路关系理清从而将电路化简。

【例1-2-12】 求图1-2-23三个电路中a、b两点之间的电阻。

解：对于图1-2-23a，直接可以求出R_ab=[3+6//(3+3)]Ω=6Ω。

对于图1-2-23b，可以看出R_ab=[8//(6+3//6)]Ω=4Ω。

对于图1-2-23c，简化过程如图1-2-24所示。

可以看出在图1-2-24中，标注“a”的为同一个点，标注“c”的为同一个点，因此R_ab=6//6//3Ω+3Ω=4.5Ω。

4.元件的星形联结和三角形联结

1）元件的星形联结如图1-2-25所示。

图1-2-25中3个电阻各有一端连接在一起成为电路的一个节点O，而另一端分别接到1、2、3三个端钮上与外电路相连，这种连接方式叫作星形（）联结。

2）元件的三角形联结如图1-2-26所示。

图1-2-26中3个电阻分别接在1、2、3三个端钮中的每两个之间，这种连接方式叫作三角形（△）联结。在三相交流电路中，三相负载星形联结和三角形联结很常见。

3）星形联结电阻和三角形联结电阻是可以相互等效变换的，变换推理过程在此省略。

星形联结电阻变换为三角形联结电阻的计算公式为

三角形联结电阻变换为星形联结电阻的计算公式为

5.电路连接的几个特例

1）电容器串联时，因为有效的极板间隔增加，所以总电容量小于其中最小的电容量；电容器并联时，因为极板的有效面积增加，所以总电容量等于各个电容器电容量之和。公式如下：

2）理想电压源串联。

3）理想电流源并联。

4）理想电压源与理想电流源串联。根据理想电压源的特性（端电压恒定、端电流任意）和理想电流源的特性（端电压任意，端电流恒定），两者串联后总端电流由理想电流源决定，对外电路来说这个串联电路等效为一个电流源，如例1-2-8所示。串联的电压源对外电路没有影响，但它会影响内部电路电流源的端电压。

5）理想电压源与理想电流源并联。

同理，两者并联后总端电压由理想电压源决定，对外电路来说这个并联电路等效为一个电压源，并联的电流源对外电路没有影响，但它会影响内部电路电压源的电流。从另一个角度分析，理想电流源输出恒定电流，其特点是负载电阻越大，负载上的电压降就越高，没有上限，当其与理想电压源并联后，因理想电压源输出恒定电压的限制，导致理想电流源的上述特点消失，所以对外电路等效为一个电压源。