2.1 流动控制方程及模型

2.1.1 控制方程

流体流动受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括质量守恒定律、动量守恒定律及能量守恒定律。如果流动属于湍流状态，系统还要遵守附加的湍流输运方程，控制方程就是这些守恒定律的数学描述[40-43]。

1）质量守恒方程

任何流动问题都须满足质量守恒定律。该定律可以描述为单位时间内流体微元中质量的增加等于统一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照该定律，可以得到质量守恒方程，即

式中，ρ是密度；t是时间；u、v、w是速度矢量在x、y、z方向的分量。

2）动量守恒方程

动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可描述为微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。按照该定律，可以导出x、y和z三个方向的动量守恒方程[44]，即

式中，p是流体微元上的压力；u是速度矢量；τ_xx、τ_xy和τ_xz等是因分子黏性作用而产生的作用在微元表面上的黏性力τ的分量；F_x、F_y和F_z是微元体上的体力。

上文提到的动量守恒方程是对任何类型的流体（包括非牛顿流体）均成立的动量守恒方程，对于牛顿流体，可以用以下形式表示：

式中，S_u、S_v和S_w是动量守恒方程的广义源项。式（2-3）又称为Navier-Stokes方程。

3）能量守恒方程

能量守恒定律是包含热交换的流动系统所需满足的基本定律。该定律可以表述为微元体中能量的增加率等于进入微元的净热流量加上体力与面力对微元所做的功。该定律实际是热力学第一定律，因此可以得到以温度T为变量的能量守恒方程，即

式中，c_p是比定压热容；T为温度；k为流体的传热系数；S_T为流体的内热源及由于黏性作用流体机械转换为热能的部分，有时简称为黏性耗散项。