1.2　拓扑学基础

拓扑学是数学的一个重要分支，用于研究几何图形在连续变形时保持不变的性质。拓扑学又分为一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学等多个分支，这些分支已经不同程度地浸透到现代数学和当代物理领域，拓扑学已经成为超弦理论存在和发展的基础。

定义1　拓扑空间　设X是非空集，T是X的一个子集，若满足①；②若；③若，则称T为集合X上的一个拓扑，(X,T)叫作拓扑空间，X称为拓扑空间(X,T)中的基础集，T中的元素称为拓扑空间(X,T)中的开集，X中的元素称为拓扑空间(X,T)中的点，X的子集称为拓扑空间(X,T)中的点集。

利用数学归纳法可以证明，拓扑空间(X,T)中的任意两个开集之交集是开集，任意有限个开集之交集是开集。故集合X上的拓扑T就是集合X的一个子集族，它包含X和，并且对T的有限个元素的交集（有限交集）和T的任意个元素的并集（任意并集）运算封闭。

例1　设X={0,1}，T=，则T是X上的拓扑。

例2　设X={a,b,c}，，，，则和都是X上的拓扑，故都是拓扑空间，但它们是两个不同的拓扑空间。

定义2　平凡拓扑和平凡拓扑空间　设X为非空集，T={φ,X}，则T是X上的拓扑，叫作集合X上的平凡拓扑，(X,T)叫作平凡拓扑空间。

定义3　离散拓扑和离散拓扑空间　设X为非空集，T=P(X) 是X的所有子集组成的集族，则T叫作X上的离散拓扑，(X,P(X))叫作离散拓扑空间。

定义4　拓扑的大小　设都是X上的拓扑，并且，则称。

定义5　拓扑空间的基　设X为拓扑空间，B，对于存在使得G，则称B为拓扑T的基，也叫作(X,T)的基，而B中的元素叫作基开集。例如，若(X,T)是任意拓扑空间，则T就是它的基。

定理1　若(X,T)为拓扑空间，B，则B是拓扑T的基的充要条件是，对任意，x，存在使得。

定理2　若B为非空集X的一个子集，则B是X上某一拓扑的基的充要条件是，B满足：X=UB；对任意，是B中某些元素的并集。如果B同时满足上述两个条件，则称集合X上以B为基的拓扑唯一。

定义6　度量空间　设X为非空集，若映射X×X→R（R为实数集）满足：①对x,y，；②对x,y，当且仅当时，；③对x,y，；④对x,y,z，这4个条件，则称为集合X上的度量，是x与y之间的距离，(x,ρ)叫作度量空间。

可度量空间和不可度量空间　设(X,T)为拓扑空间，若存在集合X的一个度量使得T是由集合X上的度量诱导的拓扑，则称(X,T)为可度量空间。设，若在集合X上赋予平凡拓扑，则称此平凡拓扑空间X是不可度量空间。

等价度量　设是集合X上的两个度量，如果在集合X上诱导相同的拓扑，即，则称为集合X上的两个等价度量。例如，对于任意，则

都是R2上的等价度量。

定义7　球形邻域　若(x,ρ)为度量空间，，则对实数，集合称为以为球心、以ε为半径的球形邻域或开球，简称的球形邻域，记作。

设}，对任意,，是上的度量或者欧氏度量，(,d)叫作度量空间，叫作n-维欧氏空间，1-维欧氏空间是直线，2-维欧氏空间是欧氏平面，3-维欧氏空间叫作欧氏空间。在n-维欧氏空间中以球形邻域为基生成的拓扑叫作上的欧氏拓扑。

定义8　映射、连续、连续映射　设(X,T)和(Y,u)为两个拓扑空间，是映射，则

是从拓扑空间(X,T)到拓扑空间(Y,u)的映射。设，若对于点在(Y,u)中的任意邻域W，存在点在(X,T)中的邻域M，使，则称映射在点连续。若映射在X的每一点连续，则称是从拓扑空间(X,T)到拓扑空间(Y,u)的连续映射。

定理3　若映射，，则f在点连续的充要条件是，对于点在中的任意邻域W，是点在(X,T)中的邻域。

定理4　若和是两个拓扑空间，是映射，则：①是连续映射；②对任意，有；③对的任意闭集，是(X,T)的闭集；④对任意，有，其中β是拓扑u的基。

定理5　若和都是连续映射，则复合映射是连续映射。

例3　连续映射包括：①常值映射；②从任意空间到平凡空间的映射；③从离散空间到任意空间的映射；④任意拓扑空间上的恒同映射。

定义9　同胚映射　如果映射是一一映射，并且都是连续映射，则称为同胚映射，或拓扑映射，或拓扑变换。

若两个拓扑空间存在一个同胚映射，则称同胚，记作。同胚映射表明点集X与点集Y一一对应，集合X上的拓扑T与集合Y上的拓扑u也一一对应。

定理6　同胚映射　若X、Y、Z都是拓扑空间，则：①恒同映射是同胚映射；②若是同胚映射，则其逆射也是；③若和都是同胚映射，则也是。

定理7　等价定理　若X、Y、Z都是拓扑空间，则关于等价存在以下关系：①（自等价定理）；②若，则（相互性定理）；③若且，则（传递性定理）。这表明同胚关系就是等价关系。

定义10　紧致空间　设X是拓扑空间，如果X的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧致空间。设AX，若A作为拓扑空间X的子空间是紧致空间，当且仅当A在(X,T)中的任意开覆盖都有有限子覆盖时，称A为拓扑空间X的紧致子集。

例4　实数空间不是紧致空间，而实数空间的子集[0,1]是紧致子集。

紧致性由实数空间中闭区间的本质属性抽象出来。紧致性和连接性都是重要的拓扑性质。拓扑空间的紧致性可用闭集族等价描述。

定理8　紧致空间的非空闭集是紧致子集。

定理9　空间的紧致子集是闭集。

定理10　设X、Y都是拓扑空间，为连续映射，如果A是拓扑空间X的紧致子集，则是拓扑空间Y的紧致子集。

定义11　设Ω是非空集合X的子集族，如果Ω的任意有限子集族都有非空的交集，则称Ω具有有限交性质。

定义12　邻域与开邻域　设(X,T)是拓扑空间，，如果存在使得，则称集合M为a的邻域。对于，由的所有邻域构成的集族叫作点的邻域系，记作N。

注意，一点的邻域不一定是开集，但开集是N的每一点的邻域，并称开集为其点的开邻域。

定理11　设是拓扑空间，对于，是点的邻域系，则存在以下关系。

①对任意，，并且对于；

②如果；

③如果；

④如果使得任意。

定义13　闭集　设是拓扑空间，，则称F为(X,T)的闭集，或者称T-闭集。

定理12　设是拓扑空间，则(X,T)的闭集具有以下性质。

①X和φ都是闭集；

②有限个闭集的并集是闭集；

③任意个闭集的交集是闭集。

定义14　闭包　设是拓扑空间，，则存在以下关系。

①设，若对于点x的任意邻域M有M，则称点x是集合A的附着点或闭包点；

②记，则称是集合A在中的闭包。

定理13　设是拓扑空间，，则A的闭包是包含A的最小闭集，。

定理14　设是拓扑空间，A,B都是X的任意子集，则存在以下关系。

①；

②；

③；

④。

定义15　聚点　设是拓扑空间，，，如果对点的任意邻域M都有

则称点为集合A的聚点或极限点或凝聚点。

例5　在R中，设，则A只有一个聚点0，并且。

例6　在R中，设，则A的每一点都是A的聚点，1也是A的聚点，并且。