2.1　狭义相对论

1905年，爱因斯坦在法文科学杂志《物理年鉴》上发表了论文《论动物体的电动力学》，标志着狭义相对论的诞生。

2.1.1　两个基本假设和洛伦兹变换

狭义相对论有如下两个基本假设。

①狭义相对性原理：一切相对做匀速直线运动的惯性系，对于描写运动的所有物理规律是等价的，或者说在所有惯性系中物理定律具有相同的形式。例如，在相对做匀速直线运动的惯性系E和中，牛顿第二定律可以分别写作如下格式。

在惯性系E中：。

在惯性系中：。

n个自由度体系的拉格朗日方程可以分别写作如下格式。

在惯性系E中：。

在惯性系中：。

②光速不变原理：真空中的光速在任何惯性系中、沿任何方向都是恒定的，与光源的运动状态无关。注意，这一原理仅适用于惯性系，并且条件是在真空中。

洛伦兹变换公式为

其逆变形式为

式中，。令

则有

一般宏观物体的运动速度远小于光速，可令=0，则

这正是伽利略坐标变换公式。由式（2.1.4）可得

再求导，得，即。

2.1.2　尺钟效应

长度收缩效应和时钟变慢效应统称尺钟效应，长度收缩效应的公式是

惯性系的三维坐标轴与惯性系E的对应坐标轴平行且方向相同。初始时刻其坐标原点与O重合，惯性系以速度v沿x轴正向运动。长度为的一根木棒沿轴水平放置，相对惯性系静止不动，其左、右端点在惯性系的轴上的坐标分别为、，在惯性系的x轴上的坐标分别为、，则木棒在惯性系中的长度为

将洛伦兹变换公式代入式（2.1.6），得

设木棒在惯性系E中的长度为L，L=，则由式（2.1.7）可得

式（2.1.8）可以表示物体在运动方向上的长度收缩。

时间也是相对的。设地球静止，以太空船在地球的初始位置为原点，以太空船离开地球的方向为x轴正向，建立三维直角坐标系。若太空船运动的速度为u，则由洛伦兹变换可得太空船中的时间间隔，以表示为

式中，表示静止坐标系中的时间间隔，可得

2.1.3　速度变换公式

对洛伦兹变换公式，即

求微分，得

式中，u是运动坐标系相对于静止坐标系沿x轴的运动速度。令

分别为运动坐标系3个坐标轴上的速度分量，而

分别为静止坐标系3个坐标轴上的速度分量，则两个坐标系之间的速度变换关系为

如果u<<c，则β=0，，由此可得到牛顿理论的速度变换公式。

2.1.4　声波和光波的多普勒频移

当声源与听者之间存在相对运动时听者听到的声波频率发生变化的现象叫作声波的多普勒效应。声源频率等于声源单位时间内发出的波长数，而听者听到的声波频率等于听者单位时间内接收到的波长数。设声源和听者分别以速度在静止介质中沿同一直线做同向运动。声波的波速为V，波长为，则声波在t时间内的传播距离为Vt，波个数为n=Vt/。当声源以速度运动时，这n个波位于(V-)t的距离内，波长。因为听者同向运动的速度为，故声波相对于听者的速度为V-。由于波速V等于波长乘以频率，所以听者听到的声波频率为

由式（2.1.12）可见，当声源和听者都不动时，f=；当听者向远离声源的方向运动时，听者听到的声波频率变小，发生红移，反之听者听到的声波频率变大。

光波是电磁波，具有波粒二象性。设惯性系E相对静止，惯性系沿着x轴正向以速度U运动。它们的坐标轴两两平行且方向一致。现在有光子沿着与x轴成θ角的方向射去。在惯性系E中，光子能量为，动量为，其中是光子频率；在惯性系中，光子能量为，动量为。若将光子的动量投影在坐标轴上，则在惯性系E中有

在惯性系中有

依据洛伦兹变换公式可以导出两个惯性系中能量、动量变换关系，即

把能量、动量相关公式代入上式中的第四式，得

或者

2.1.5　相对论动力学

1．动力学基本方程

相对论动力学基本方程为

式中，；为动量对时间的变化率；m为相对论质量，其是速度的函数，即。

2．动量定理

由式（2.1.15）得

式（2.1.16）表明，物体动量的增量等于力的时间累积效应。

3．相对论质量

上文中提到，相对论质量m是速度的函数，其具体表达式为

证明：设惯性系和E的坐标轴对应平行，相对于E沿x轴正向以速度v运动。在惯性系E中质量为m的A球与静止的质量为的B球发生对心碰撞（m=），碰撞之后A球与B球的共同速度为。由动量守恒定律得

在惯性系中的观测者看来，在这一碰撞过程中，质量为的A球静止，质量为m0的B球以速度v沿x轴负向运动，并与A球发生碰撞，碰撞之后A球和B球的共同速度为。由动量守恒定律得

由式（2.1.18）得

由式（2.1.19）得

已知速度变换公式为

将式（2.1.20）和式（2.1.21）代入式（2.1.22），得

化简，得

4．动能定理和质-能关系式

由相对论动力学基本方程，即式（2.1.15）得

考虑

对后面的式子微分，得

所以可得

两边积分，得

即

式（2.1.24）又称为质-能关系式，表明物质与能量在一定条件下可以相互转化。