1.0．用素数减法可表偶数数乘封闭证明孪生素数猜想

（1）我们把任意偶数拆分为两个不同奇数的三元方程化约为互素方程：

p1^a1p2^a2p3^a3…pi^ai-q1^b1q2^b2q3^b3…qi^bi=2n

可变换为：

p1^a1p2^a2p3^a3…pi^ai=2n+q1^b1q2^b2q3^b3…qi^bi

ap=2n+bq

可变换为：

ap-bq=2n（即通过数乘消去律，消去最大公因子，把上式变为不可约多项式方程）

（其中p、q、a、b互素，且p、q为奇素数，a、b为自然数，n为大于3的自然数）

每次令第一项与2n互素，必三元互素，否则有分数，这与差值必有整数解矛盾。

所以2n的拆分方程其本原解就是2n自身，与原方程解集一样，未发生数域扩张或数域缩减。

由于n与2n之间定有素数（伯特兰-切比雪夫定理），故每个偶数都可以拆分为两个互素的奇数项相加。即2k对奇素数连和可获得不小于8的所有偶数，这个结论与算术基本定理等价，任意自然数可用素数乘性表达，也可用素数加性表达。于是可推理出2n与4n之间定有素数p，而p-2n是奇数bq。

每次2n减去该新素数所得到的奇数差值必与该新奇素数互素。因为可设定它与2n互素，就必与差值互素，且存在互素的奇数对，包含其中有素数项。到此已完成了所有偶数不等量分割且互素的证明。

总之每一个偶数都能成功拆分为两个互素奇数之差。保证了原方程解集是2n全集。为何能保证本原解2n还是偶数全集？因为素数分割时，始终保留一项与2n互素，从而必三元互素，即：

ap-bq=2n

其中p、q属于所有奇素数，n属于大于3的所有自然数，a、b属于所有自然数，a=1时，p＞bq, p＞2n，且p、bq、2n三元互素。

（2）再把素数p通过2n拆分得到的本原解方程化约为最简本原解方程（即两素数差值拆分可表偶数的方程）。通过化约得到最简本原解方程，是根据内积消去律实现的，该类化约须保留线性相关组，消去匹配的正交基，根据某项未知数的解集要求，就可化约得到匹配的最简本原解方程。总之，可得到系数最简洁的方程。

由p-bq=2cm=2n可知，核空间向量（p、-q, -2m）与向量（1, b, c）T是一对正交基，（1, b, c）T为线性无关组或线性相关组。根据可表偶数定义p-q=2m，可知（p、-q, -2m）为线性相关组（其中1、b、c为正整数）。

p-q=2m（可知2m的数乘等于2n，即2n的通解是2m的数乘，2m是本原解方程、也是原方程的素数基础解系，其中p、q为互异奇素数）。

也就是说，可表偶数方程p-q=2m就是偶数本原解方程p-bq=2n的素数基础解系方程；

同样，原偶数差值拆分方程p-bq=2n就是素数基础解系方程p-q=2m的通解方程。

即最简本原解方程p-q=2m在本原解方程的基础上根据内积消去律消去了属于一对正交基的向量组（1, b, c）T。最简本原解通过还原两类消去律，将得到所有通解。在这里素数基础解系就是素数核空间，就是素数基底解集。

到此我们证明了一个重要引理，奇数不等量分割方程的整数域二维线性空间必有互异素数差值基底。

继续定义p-q=2m，其中2m的数乘等于2n，即2n的通解是2m的数乘。（其中p、q为奇素数）

我们再来定义p-q=2m为可表偶数，2m´为不同于可表偶数的例外偶数，那2m就是间隔偶数方程的最简本原解。

（3）于是可推理得到，例外偶数2m´不存在最简本原解。

如果例外偶数2m´有最简本原解，2m´=p-q，因为彼此互素，那么例外偶数就是自身的最简本原解，就是可表偶数，这与例外偶数的定义发生矛盾，故例外偶数2m´不存在最简本原解，于是也就不存在关于例外偶数的通解。

（4）还可以推理得到，例外偶数2m´解集是空集Ø。

如果例外偶数2m´没有最简本原解，2m´≠ p-q，那么例外偶数的原方程也就没任何通解。因为原方程所有解都是最简本原解（既约正解或说基础解系）的数乘，最简本原解是空集，它的数乘（含叉乘）也必是空集，它的点乘也必是空集。总之，例外偶数横竖是空集，可得同构等式2n=2m∪2m´=2m∪Ø，故2n=2m。于是可证2n=p-q为同构等式，其中n＞0, p、q互素且为所有奇素数。

（5）间隔差可列的每类素数对必有一类是无穷组。

于是我们得到2n=p-q，差值2也在其中，以上可知存在差值无限趋大的素数对，那是不是有一种差值为定值的素数对有无穷组呢？张益唐就做了这件事，他证明了差值7000万以内有无穷组的素数对可满足要求，这样根据鸽笼原理，就至少有一类差值素数对担当了向无穷分布的使命。那么有没有别的办法可证明这个结论？显然可以绕过张益唐的证明结果。

这个类似结果可以用反证法来证明，如果间隔差可列的每类素数对都是有限组的，那么差值2，差值4，差值6……差值2k的素数对将在某个定值2m后不再出现，这就意味着间隔2k的素数对是有限组的，也就是说紧致素数是不存在的，这同素数差值的差值小于定值有无穷组相矛盾。故“间隔差无穷可列的每类素数对数都不超过某一有限对数的”这个命题是不真的，因此必有差值无穷可列的素数对是拥有无限对数的，这个无穷可列的素数对间隔差可取2w，相应的素数对数也会趋于无穷大。

（6）斋藤猜想注4的推论：（p1-p3）-（p4-p2）=2有匹配的无穷组。

注4：斋藤猜想，日本数学家斋藤慎二（Saito Shinji）提出：存在两个素数之差可以获得所有偶数，即p1-p2=2n, n为自然数，p1、p2为奇素数。

我们可以假设这个素数间隔无穷可列值为2w，根据2n=p-q的推论，必有（p1-p3）-（p4-p2）=2（从相邻偶数关系推理而来），现已知（p1-p3）=2w拥有无穷组，那么与之匹配的间隔差值等于2的素数对（p4-p2）就一定也拥有无穷组，否则就不能产生无穷无漏的后继偶数。由此可得（p4-p2）=2w-2也有无穷组，将这个运算迭代运行下去，必将得到（p4-p2）=2也有无穷组。

于是孪生素数猜想获证。