2.4 模糊关系及其运算
描述客观事物间联系的数学模型称作关系。集合论中的关系精确地描述了元素之间是否相关，而模糊集合论中的模糊关系则描述了元素之间相关的程度。普通二元关系是用简单的“有”或“无”来衡量事物之间的关系，因此无法用来衡量事物之间关系的程度。模糊关系则是普通关系的推广，它是指多个模糊集合的元素间所具有关系的程度。模糊关系在概念上是普通关系的推广，普通关系则是模糊关系的特例。
2.4.1 模糊关系矩阵
例2.6 设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试成绩如表2.2所示。
表2.2 考试成绩表
取隶属函数
，其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个X×Y上的一个模糊关系R，如表2.3所示。
表2.3 考试成绩表的模糊化
将表2.3写成矩阵形式，得
该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在[0，1]闭环区间上取值。矩阵R也可以用关系图来表示，如图2.10所示。
图2.10 R的关系图
2.4.2 模糊矩阵运算
设有n阶模糊矩阵A和B，A=（aij），B=（bij），且i，j=1，2，…，n，则定义如下几种模糊矩阵运算方式。
（1）相等。
若aij=bij，则A=B。
（2）包含。
若aij≤bij，则A⊆B。
（3）并运算。
若cij=aij∨bij，则C=（cij）为A和B的并，记为C=A∪B。
（4）交运算。
若cij=aij∧bij，则C=（cij）为A和B的交，记为C=A∩B。
（5）补运算。
若cij=1-aij，则C=（cij）为A的补，记为
。
例2.7 设
，
则
模糊关系的定义为：设X和Y是两个非空集合，则X×Y的一个模糊子集称为X到Y的一个模糊关系。
2.4.3 模糊矩阵的合成
所谓合成，即由两个或两个以上的关系构成一个新的关系。模糊关系也存在合成运算，是通过模糊矩阵的合成进行的。
R和S分别为U×V和V×W上的模糊关系，而R和S的合成是U×W上的模糊关系，记为RºS，其隶属函数为
例2.8 设
，
，
则
，其中
c11=（a11∧b11）∨（a12∧b21）
c12=（a11∧b12）∨（a12∧b22）
c21=（a21∧b11）∨（a22∧b21）
c22=（a21∧b12）∨（a22∧b22）
当
，
时，有
可见，AºB≠BºA。
采用MATLAB可实现模糊矩阵的合成，仿真程序见chap2_4.m。
仿真程序：chap2_4.m
例2.9 某家中子女和父母的长相“相似关系”R为模糊关系，可表示为
用模糊矩阵R表示为
该家中，父母与祖父的“相似关系”S也是模糊关系，可表示为
用模糊矩阵S表示为
那么在该家中，孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢？
模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类的问题而提出来的。针对此例，模糊关系的合成运算为
该结果表明，孙子与祖父、祖母的相似程度分别为0.2和0.2，而孙女与祖父、祖母的相似程度分别为0.5和0.6。