第2章 优化设计的理论基础

2.1 优化设计问题的几何意义

2.1.1 目标函数的等值面（线）

目标函数的值是评价设计方案优劣的指标。n维变量的目标函数，其函数图像只能在n+1维空间中描述出来。当给定一个设计方案，即给定一组x₁，x₂，…，x_n的值时，目标函数f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n）必相应有一确定的函数值；但若给定一个f（X）值，却有无限多组x₁，x₂，…，x_n值与之对应，也就是当f（X）=a时，X=（x₁，x₂，…，x_n）^T在设计空间中对应有一个点集。通常这个点集是一个曲面（二维是曲线，大于三维称为曲面），称之为目标函数的等值面。当给定一系列的a值，取a=a₁，a₂，…时，相应地有f（X）=a₁，a₂，…，这样可以得到一组超曲面族——等值面族。显然，等值面具有下述特性，即在一个特定的等值面上，尽管设计方案很多，但每一个设计方案的目标函数值却是相等的。

现以二维无约束最优化设计问题为例阐明其几何意义。如图2-1所示，二维目标函数值f（X）=f（x₁，x₂）在以x₁、x₂和f（X）为坐标的三维坐标系空间内是一个曲面。在二维设计平面x₁Ox₂中，每一个点X=（x₁，x₂）都有一个相应的目标函数值f（X）=f（x₁，x₂），它在图中反映为沿f（X）轴方向的高度。若将f（X）=f（x₁，x₂）面上具有相同高度的点投影到设计平面x₁Ox₂上，则得f（X）=f（x₁，x₂）=a的点集，称为目标函数的等值线（等值线是等值面在二维设计空间中的特定形态）。当给定一系列不同的a值时，可以得到一组平面曲线：f（X）=f（x₁，x₂）=a₁，f（X）=f（x₁，x₂）=a₂，…，这组曲线构成目标函数的等值线族。由图可以清楚地看到，等值线的分布情况反映了目标函数值的变化情况，等值线越向里，目标函数值越小，对于一个有中心的曲线族来说，目标函数的无约束极小点就是等值线族的一个共同中心X^*。故从几何意义上说，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。

以上二维设计空间等值线的讨论，可以推广到分析多组问题。但需注意，对于三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计空间中则是等值超曲面。

2.1.2 约束最优解和无约束最优解

n维目标函数f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n），若在无约束条件下极小化，即在整个n维设计空间寻找X^*=（x₁^*，x₂^*，…，x_n^*）^T，使满足minf（X）=f（X^*），X∈Rⁿ，其最优点X^*、最优值f（X^*）构成无约束最优解；若在约束条件限制下极小化，即在可行域中寻找X^*=（x₁^*，x₂^*，…，x_n^*）^T，使满足minf（X）=f（X^*），X∈Rⁿ，其最优点X^*、最优值f（X^*）构成约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。

现用一个二维非线性最优化问题，从几何意义上来说明约束最优解和无约束最优解。

设已知目标函数f（X）=x²₁+x²₂-4x₁+4，受约束于g₁（X）=x₁-x₂+2≥0，g₂（X）=x₁≥0，g₃（X）=x₂≥0，g₄（X）=-x²₁+x₂-1≥0，求其最优解X^*和f（X^*）。图2-1a表示其目标函数和约束函数的立体图，图2-1b表示其平面图。当目标函数f（X）=0.25、1、4、6.25时，相应在x₁Ox₂设计平面内得一系列平面曲线（同心圆）——等值线，它表示了目标函数值的变化情况，越向里边的代表目标函数值越小。显然其无约束最优解为目标函数等值线同心圆中心X^*（1）=（x^1*（1），x₂^*（1））^T=（2，0）^T，f（X^*（1））=0。而其约束最优解则需在由约束线g₁（X）=0，g₂（X）=0，g₃（X）=0，g₄（X）=0组成的可行域（阴影线里侧）内寻找使目标函数值为最小的点，由图可见，约束线g₄（X）=0与某等值线的一个切点X^*（2）即为所求，X^*（2）=（x₁^*（2），x₂^*（2））^T=（0.58，1.34）^T，f（X^*（2））=3.8为其约束最优解。

图2-1 二维函数的约束最优解和无约束最优解

以上二维问题关于约束最优解和无约束最优解几何意义的讨论，同样可以推广到多维问题。n个设计变量（x₁，x₂，…，x_n）组成设计空间。在这个空间中的每个点代表一个设计方案。此时n个变量有确定的值。当给定目标函数某一值时，就在n维设计空间内构成一个目标函数的等值超曲面，给定目标函数一系列数值时就得一系列目标函数的等值超曲面。这些等值超曲面反映了目标函数的变化情况。无约束最优点为这些等值超曲面的共同中心。对于约束最优化问题，每一个约束条件在n维设计空间中是一个约束超曲面，全部约束超曲面在设计空间中构成可行域。在其上寻找目标函数值最小的点即为约束最优点。这一点可以是目标函数等值超曲面与某个约束超曲面的一个切点，也可以是目标函数值较小的某些约束超曲面的交点（如图2-2所示的X^*点）。

图2-2 n维问题的约束最优点和无约束最优点

2.1.3 局部最优解和全域最优解

对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点X^*（1），X^*（2），…，如图2-3所示。此时，X^*（1）和f（X^*（1））、X^*（2）和f（X^*（2））均称为局部最优解。如其中X^*（1）的目标函数值f（X^*（1））是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X^*（1）和f（X^*（1））为全域最优解。

对于约束最优化问题，情况更为复杂，它不仅与目标函数的性质有关，还与约束条件及其函数性质有关。如图2-4所示，将目标函数f（X）的等值线绘于图上，由两个不等式约束g₁（X）≥0、g₂（X）≥0构成两个可行域D₁和D₂。X^*（1）、X^*（2）、X^*（3）分别是可行域内在某一邻域目标函数值最小的点，都是局部极小点，亦即X^*（1）、f（X^*（1）），X^*（2）、f（X^*（2）），X^*（3）、f（X^*（3））均称为局部最优解。由于f（X^*（1））＜f（X^*（2））＜f（X^*（3）），可知X^*（3）为全域极小点，亦即X^*（3）和f（X^*（3））为全域最优解。

优化设计总是期望得到全域最优解，但目前的优化方法只能求出局部最优解，并采取对各局部最优解的函数值加以比较，取其中最小的一个作为全域最优解。

图2-3 无约束优化的全域和局部最优解

图2-4 约束优化的全域和局部最优解