第1章 动力学基础

动力学研究的是已知物体的运动形式求其受载荷情况，或者已知物体的载荷情况求其运动形式。

动力学与静力学的区别如下所示。

●静力学分析其实是基于一种假设，即载荷和物体的响应不发生变化或随时间变化得非常缓慢，其表现为承受稳态加载条件。但在实际工程中仅进行静力学分析可能是不够的，特别是物体处于随时变化的载荷时。

●动力学分析是在惯性或阻尼起重要作用时，物体在自由振动下（移除载荷后）的响应特性；或者物体随时间变化情况下的动态响应特性。前者寻找物体的振动特性（固有频率和主振型），以便更好地利用或减小振动。后者研究物体的动态载荷和随时间运动的关系。

使用ANSYS进行动力学分析时，必须注意以下事项。

1）应清晰理解动力学的理论。一些读者在只阅读软件操作说明书后就进行动力学分析，完全不理解软件操作步骤、如何设置参数及后处理的意义，这就产生了许多令人啼笑皆非的问题。例如，为什么不能在模态分析中加载载荷；将模态分析后处理中的应力参数作为结构强度校核指标；进行转子动力学分析时，将模态分析的固有频率作为临界转速等。同时，一些使用者缺乏对各种动力学理论知识体系的理解，导致分析项目时不知所措，无从下手；或者在操作软件时，计算结果不尽如人意，误差非常大。例如，在响应谱分析中软件操作并不难，但是理解操作过程非常难，进而导致设置错误，加之计算结果又难以理解，最终影响计算精度。

2）网格划分。动力学分析涉及面较静力学分析更广，计算收敛需考虑的问题较静力学更多，因此这导致动力学分析更难收敛。这就需要更好的网格为收敛计算提供前提条件。正如《ANSYS Workbench有限元分析实例详解（静力学）》中已经提到的，对于三维模型，六面体网格可以减少计算量，容易收敛。但就计算精度而言，四面体与六面体网格的结果相差无几。所以当遇到比较复杂的模型时，纯粹使用四面体或者使用六面体和四面体的组合形式不失为一种较好的处理方法。

3）动力学分析模块分类。

Workbench将动力学分为4类，包括线性动力学、瞬态分析、刚体动力学和显式动力学。每一类均有不同的模块，相对独立的转子动力学和多体动力学分析也由相应模块组合而成，具体如图1-1所示。

线性动力学主要以模态分析为基础，反映结构为线性的动力学分析。即假设系统的弹性或阻尼力随节点位移和速度呈线性变化，且外力不随节点的位移和速度的变化而变化。线性动力学分析包括模态分析、谐响应分析、线性屈曲分析、响应谱分析和随机振动分析，其中线性屈曲分析严格意义上属于线性动力学范畴，但考虑其常用于描述几何非线性，因此将其置于静力学分析中。

瞬态分析分为模态叠加法和直接积分法，其中模态叠加法可以近似属于线性动力学，因为其唯一可设置的非线性条件为简单的点点接触；直接积分法采用隐式求解器来研究所有非线性的问题。

刚体动力学定义研究对象为刚体，由于刚体不能变形，所以求解的结果没有应力和应变，只有力、力矩、位移、速度和加速度。Workbench在这方面不如经典的Adams等软件方便（如无法直接定义齿轮副、凸轮副等），但它可以利用接口或插件充实刚体动力学分析。

显式动力学用于描述高度非线性的动力学分析，分别以LS-DYNA和AUTODYN为求解核心处理各种高速冲击、碰撞等分析。本书限于篇幅，没有讲述该部分内容。

4）显式算法（explicit）和隐式算法（implicit）的区别。

以基本动力学基本方程为例进行讲解：。

式中为质量矩阵；为阻尼矩阵；为刚度矩阵；为载荷矢量关于时间的函数；为位移对时间的二阶导数，即加速度矢量；为位移对时间的一阶导数，即速度矢量；为位移矢量。简而言之，可以将该公式近似为。如果忽略式中左边的第二项和第三项，即变为牛顿第二定律；忽略式中左边的第一项和第三项，即变为低速下黏滞阻力定律；忽略式中左边的第一项和第二项，即变为胡克定律（静力学）。

使用有限元法对动力学常微分方程组进行求解。由数值分析可知，可以采用平衡迭代法和差分法两种方法来求解。前者利用下一时刻物理量（未知）与当前时刻物理量（未知）的增量步关系，对方程组进行迭代求解，每一步都需平衡迭代并存在收敛性，计算量非常大，这称为隐式算法；后者利用上一时刻物理量（已知）与当前时刻物理量（未知）的关系，不用解耦方程可直接计算，不需要平衡迭代，只要时间步长足够小，一般不存在收敛问题，其计算量较隐式算法小得多，这称为显式算法。可以用登山来形容两者：隐式算法类似一个旅行者，在山中不断寻找各种山间小路，如果他没有定位工具，则很容易迷失方向，因此必须不断容错和尝试；显式算法类似一个攀岩者，制定目标后只要不是步伐太大，一步一个脚印，就一定可以攀登成功。

显式算法一般应用于作用时间非常短暂（一般小于1s，准静态除外），惯性力和冲击效应非常大的工况，如跌落、弹道侵彻和爆炸等，它还包括复杂的接触状态、极大变形、材料磨损和失效等。

两者的主要区别体现在如下几个方面。

●隐式算法的计算量一般与单元数量的平方成正比，显式算法与单元数量成正比。显式算法更节约计算机硬件成本。

●隐式算法在对方程组进行求解时，需要对刚度矩阵求逆，因此必须迭代计算。迭代时间步没有万能公式可以验算，一般需要不断尝试。显式算法则要求质量矩阵为对角矩阵，不存在收敛问题，时间步必须小于材料波速。

●隐式算法由于每个载荷步都进行收敛控制，因此避免了积累误差；显式算法中单元往往采用缩减积分，容易激发沙漏现象，对应力应变的计算结果有较大的影响。

5）运动学与动力学的区别。

运动学研究物体的运动，但不考虑引起运动的因素，其主要研究对象为位移、速度和加速度。动力学除了研究物体的运动以外，还研究引起运动的因素，研究对象还包括质量和力的影响。例如，动量计算公式为，外力可以引起物体加速运动，其等于动量的变化率，即。

下面以一个简单的物理题说明两者的不同：一个物体沿直线加速运动，其加速度为a，初始速度为vi，运动时间为t，如图1-2所示。

运动学分析如图1-2a所示，它不需要考虑运动产生的原因，只需计算最终速度。

动力学分析如图1-2b所示，它不仅考虑了速度、加速度的概念，还需要考虑物体的质量和力的关系，即。

在CAE中，对物体进行动力学分析时，除了有限元软件外，还有多体动力学软件。典型的多体动力学软件有Adams、LMS-Motion、RecurDyn和SIMPACK等。有限元软件和多体动力学软件互相联系，如RecurDyn提供了Workbench的ACT插件，它可以在Workbench界面下轻松加载。两者又有本质区别，首先有限元基于弹性力学，多用于设计后的复核；多体动力学基于分析力学，多用于设计前的评估。其次有限元需要离散化模型（划分网格）；多体动力学则不需要。再者有限元擅长描述物体变形、应力和应变，特别适用材料的失效、不同物理场的耦合、复杂的接触以及柔性体零件的优化设计等；多体动力学擅长描述物体运动过程中的速度、加速度、受力等复杂的运动关系，特别适用机构的非线性运动关系。

Workbench中的瞬态动力学模块可计算结构对动态载荷的响应，它不仅可以考虑大的屈曲变形、接触和材料非线性，还可以考虑载荷和接触突变状态、波传播影响，可输出应力和应变、速度和加速度、各种反力和反力矩。由于计算量庞大，往往需要高昂的硬件代价和巨大的时间花费。因此在实际工程分析中，可以在软件中定义部分零件为刚体，这样可以有效减少整个模型的计算量和硬件消耗，也不需要刚性体的应力应变结果，同时又不影响整个结构的动态响应。如果是将所有或部分零件定义为刚体的动力学分析，那么即可认为其为多体动力学。但由于计算机理不同，所以它与常规的多体动力学软件还不尽相同。

6）转子动力学基本理论。

转子动力学基本方程为：

（转动动坐标系）

（固定坐标系）

式中[G]为依据转速的陀螺效应矩阵，陀螺效应表现为耦合垂直于旋转轴的旋转自由度；[B]为依据转速的旋转阻尼矩阵，表现为改变结构刚度，产生不稳定运动；[Kc]为旋转软化效应刚度矩阵。由此可知，转子动力学方程是动力学基本方程的衍生，主要表现在旋转效应上。典型转子运动学仿真软件有MADYN、LMS-SAMCEF等。

转子动力学方程分为固定坐标系和转动动坐标系两种形式。固定坐标系适用于一个或一个以上旋转结构（转子）和一个固定结构（例如，燃气轮机发动机转子定子总成、多轴气涡轮发动机）。其中旋转部分的结构必须轴对称，非轴对称零件必须转化为等效质量。这种坐标系不适用于静态分析，可以生成坎贝尔图计算转子临界转速。转动动坐标系适用于没有固定结构，整个结构只能为单一的旋转结构（例如，前燃气涡轮发动机转子、单轴燃气涡轮发动机），结构不必是轴对称的，这种坐标系适用于静态分析，不适用于坎贝尔图计算转子临界转速。

在ANSYS中，共有3种形式的转动，分别为相对于总体坐标系的整体结构转动1，相对于自定义轴的部分结构转动2，相对于自定义轴的整体坐标系转动3。分析时可以在上述转动形式中任选两种。当转动1和转动2组合时，转动1是整体运动，转动2是陀螺自转；当转动1和转动3组合时，转动3是整体运动，转动1是陀螺自转；当转动2和转动3组合时，转动3是整体运动，转动2是陀螺自转。

转子动力学的主要研究对象如下所示。

●转子的临界转速。临界转速的概念为质量偏心（材料不均匀偏心，例如零件上的槽、键槽等；状态不平衡偏心，例如零件磨损、热变形、灰尘污垢等）的转子在旋转过程中，当转速到达某一数值时，会导致系统出现剧烈振动，该数值即为临界转速。可认为转子及其支撑系统的固有振动频率与该转速的激振频率一致，产生共振。为避免共振，设计转子的临界转速时需远离激励转速的15%～20%（注意：不同零件的激励转速与工作转速不同。例如，质量不平衡的零件的激励转速等于工作转速，中心不对称的联轴器的激励转速等于2倍工作转速，动激励下的离心式压缩机激励转速等于工作转速的1/2等）。该研究主要采用模态分析，求得包含稳定性和临界转速的坎贝尔图。

●稳态不平衡响应。也可用稳态不平衡响应求得转子系统的临界转速，但其主要目的是在不平衡量作用下求解转子及其支撑系统对正弦状态（振幅不随时间变化）的稳态不平衡响应，进而确定如何采取措施来避免最大不平衡响应及减小不平衡响应。该研究采用基于模态叠加法的谐响应分析，对坎贝尔图上的不同路径进行各自谐波响应扫描。

●瞬态响应。主要针对转子系统不平衡的突然变化、作用在转子系统上的外载荷突然变化或转子系统在变速下工作等情况。转子系统的响应分析包括转子系统的位移、变形以及支撑结构的传递载荷分析，起动加速、制动减速是最常见的瞬态过程。该研究采用瞬态分析，方法1采用真正的转子动力学分析（即非线性瞬态分析），根据转动角速度真实地计算转动模型，这是最昂贵的方法（求解时间长，*.rst文件大）。但是这包括了所有的响应，后处理可以表现一个真实转动的模型。方法2采用固定坐标系，用Coriolis命令计算陀螺效应，大部分的转子动力学效应可以得到反映，但是在后处理时看不到真实的转动。方法3采用旋转坐标系，用Coriolis命令计算对应力。方法2、3各有优缺点，都不能表现真实的转动。