第二节 年金现值与终值的计算
上述现值和终值的计算中，现金流量只在某一年发生。实际上企业的现金流量每年都产生，形成收入或支付序列。这些等额、定期的系列收支，称为年金（annuity）。例如，分期付款购货、分期偿还贷款、养老金发放等，都属于年金收付形式。年金根据其系列收付款项的发生时间不同可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。
一、普通年金（ordinary annuity）的终值与现值
普通年金又称为后付年金，是指其系列收付款项的发生在每期期末。
（一）普通年金终值
普通年金终值是指其最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。
【例3-9】假设在第1~5年每年年末等额存入银行600元，年利率为10%，按年计算复利，那么，在第5年年末的银行存款额将是多少？
其年金发生情况如图3-1所示。
图3-1 普通年金终值的现金流
上述计算过程的一般表达式为
其中，FVA为年金终值；A为每期期末等额支付的金额；i为利率；n为期数。
根据等比级数求和公式，式（3-12）最终可写成
代入本例的数据可得
FVA=600×[(1+10%)5-1]/10%=600×6.105=3663（元）
其中，
称为年金终值系数，用符号(FV/A,i,n)或(F/A,i,n)或FVIFAi,n表示。可以直接计算得到，也可以通过查年金终值系数表的方法得到（本书没有设此附表）。
例3-9是已知(F/A,i,n)、A，求FVA。如果已知(F/A,i,n)、FVA求A，就得到偿债基金，即为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。
由 FVA=(FV/A, i,n)·A=(F/A,i,n)·A
有
其中，1/(F/A,i,n)为偿债基金系数，它是年金终值系数的倒数，记为(A/F,i,n)。
（二）普通年金现值
普通年金现值是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需投入的金额。
【例3-10】假定从现在开始做一项投资，希望从一年后的每年年末有收益600元，若期望的投资收益率是10%，则现在应该投入多少钱？计算过程如图3-2所示。
图3-2 普通年金现值的现金流
由此可推导出普通年金现值的一般公式为
其中，
称为普通年金现值系数，记为(P/A,i,n)或(PVA/A,i,n)或PVIFAi,n，同样，它既可以直接计算得到，也可以通过Excel或查表的方法得到。在进行年金现值的计算中，只要给出三个变量，就可以求出另一个值。另外，1/(P/A,i,n)为资本回收系数，它是年金现值系数的倒数，记为(A/P,i,n)。
【例3-11】如果你现在65岁，正考虑自己是否应该到保险公司购买年金。你只要支付1万元，保险公司就会在你的余生中每年支付你1000元。如果你将这笔钱存入银行账户，每年可以获得8%的利息。假定你可以活到80岁，试确定你是否值得购买该年金。
解 要分析购买年金是否合适，问题的关键在于计算年金的现值，并将它与投资的1万元进行比较。如果年金的现值大于1万元，则进行的年金投资就是有利的。计算如下。
假设这里是普通年金，从你66岁开始到80岁期间，保险公司将要支付15次1000元。以贴现率每年8%计算，其现值为
换句话说，要想今后15年每年获得1000元，只要现在按年利率8%在银行账户上存入8559.48元即可。因此，该年金的投资是不合适的。
二、预付年金（annuity due）的现值与终值
预付年金是指每期系列等额支付的款项发生在每期的期初，又称预付年金或即付年金。
（一）预付年金终值
假设你现在做一项投资，每年年初存入银行600元，存期5年，银行存款利率为10%，那么，到第5年年末，你将得到多少？这个问题就是预付年金终值的问题，其支付方式如图3-3所示。
图3-3 预付年金终值的现金流
预付年金终值的计算公式为
需指出，预付年金终值与普通年金（后付年金）终值的区别是计算终值的时间点不同。普通年金的终值是在最后一笔现金流发生的那一刻计算的，而预付年金的终值是在最后一笔现金流发生的那一期的期末计算的。因此，预付年金终值比普通年金终值多计算一期。n期预付年金的终值等于相应年期普通年金终值再复利一年。用公式表示为
FVA=A·(FV/A,i,n)·(1+i)=A×(F/A,i,n)×(1+i)
或
式中，(F/A,i,n)，FVIFAi,n+1和(F/A,i,n+1)为n期和n+1期的普通年金终值系数。在例3-9中，普通年金终值为3663元，则预付年金终值FVA=普通年金终值×(1+10%)=3663×1.1=4029.4元。或者，预付年金终值FVA=600×{[(1+10%)6-1]/10%-1}=4029.4元。
（二）预付年金现值
正如求一次支付或收入的现值一样，每年等额的款项收付也要计算现值。假定现在要做一项投资，希望从第1年到第5年，每年年初均有600元收入。若预期收益率为10%，则现在应该投入多少才合适？这个问题就是预付年金现值的计算问题，其现金流量方式如图3-4所示。
图3-4 预付年金现值的现金流
预付年金现值的计算公式为
预付年金现值与普通年金现值的区别是：在计算普通年金现值时，现金流被认为是发生在每期期末，而计算现值的时间点在第一笔现金流量的那一期的期初；在计算预付年金现值时，现金流被认为是发生在每期的期初，而计算现值的时间点也就在第一笔现金流量发生的那一刻。因此，可以把预付年金现值看成是普通年金现值再复利一年。
其计算公式为
PVA=A·(PV/A,i,n)·(1+i)=A·(P/A,i,n)·(1+i)
或
式中，(P/A,i,n)和PVIFAi,n-1为n期和n-1期的普通年金现值系数。例3-10中，普通年金现值为2274.6元，则预付年金现值＝普通年金现值×(1+10%)=2274.6×1.1=2502元。或者，PVA=600×[(PV/A,10%,4)+1]=600×(3.1698+1)=2502元。
三、递延年金（deferred annutity）的现值与终值
递延年金是指距现在若干期以后发生的每期期末收付的年金。递延年金的支付形式如图3-5所示。
图3-5 递延年金的现金流
从图3-5中可以看出，前m期没有发生支付，在第m期以后才发生支付。一般用m表示递延期，n表示年金支付期数。
递延年金现值的计算方法有以下两种。
第一种方法，是把递延年金视为n期的普通年金，求出该年金在递延期末的现值，然后再将此现值调整到（折现到）现在（第一期初）。用公式表示为
第二种方法，是假设递延期中也进行支付年金，先求出(m+n)期的年金现值，然后再减去实际并未支付的递延期m的年金现值。用公式表示为
【例3-12】某公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：（1）从现在起，每年年初支付20万元，连续付10次，共200万元。（2）从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250万元。假设该公司的资本成本率（即最低收益率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
解 （1）方案1为预付年金（即预付年金），则预付年金现值为
PV=20×(P/A,10%,10)×(1+10%)或PVA=20×[(P/A,10%,9)+1]=135.18（万元）
（2）方案2为递延年金，递延期是3（由于是先付年金，视为第4年年末已产生现金流），普通年金个数为10个，则递延年金现值为
PV=25×(P/A,10%,10)×(P/F,10%,3)=115.41（万元）
或 PV=25×[(P/A,10%,13)−(P/A,10%,3)]=115.41（万元）
或先求10年先付年金现值为168.98，再折现4年，即168.98/(1+10%)4=115.41（万元）
故该公司应选择第二种方案。
递延年金终值的计算，即为n期的普通年金，用公式表示为
四、永续年金（perpetual annuity）
无限期定额支付的年金，称为永续年金。现实中的存本取息、养老金等，都可视为永续年金的例子。
永续年金没有到期日，也就没有终值。永续年金的现值可通过普通年金现值的计算公式导出：
这是一个无穷级数，当n→∞时，上式变为
由于实际增长因素或通货膨胀因素等原因，常涉及现金流随着时间而增长的情况。因此，在年金的计算中，常遇到“增长年金”，它是一种在有限时期内增长的现金流。设年金为A，其每年增长率为g，期限为n，则增长年金的现值为
当n→∞时，就变成永续增长的年金，这时式（3-24）变为
这里要求年金的增长率g小于利率i。
附录3-1
Excel在时间价值计算中的应用
通过Excel工具，可以方便地进行财务管理中与时间价值有关的各种计算。计算的方法有以下两种。
一是根据已有的终值或现值公式，对于给定的利率、期限、终值或现值，利用Excel中的公式编辑器计算生成，并利用填充柄功能来计算现值或终值。这里不作具体介绍。
二是直接利用Excel中的函数功能计算。这里只简单介绍一下具体的操作步骤：打开Excel工作表→选择“插入”菜单下的fx函数→在选择类别中选择“财务”命令，然后开始具体的计算。
1．复利现值的计算
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“PV”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Nper”（期限）、“终值（FV）”→“确定”。
2．复利终值的计算
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“FV”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Nper”（期限）、“现值（PV）”→“确定”。
3．还款期数的计算（固定利率、等额分期付款）
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“Nper”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Pmt”（各期偿还额）、“现值（PV）”→“确定”。
4．年金现值的计算
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“PV”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Nper”（期限）、“Pmt”（年金A）、“type”（年金类型，普通年金为0，预付年金为1）→“确定”。
5．年金终值的计算
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“FV”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Nper”（期限）、“Pmt”（年金A）、“type”（年金类型，普通年金为0，预付年金为1）→“确定”。
6．贷款还款额的计算（固定利率、等额分期偿还）
fx函数→“财务”→在下拉菜单中选择“Pmt”→“确定”→在弹出的对话框中输入：“rate”（利率）、“Nper”（期限）、“现值（PV）”→“确定”。
附录3-2
企业年金
企业年金，是指企业及其职工在依法参加基本养老保险的基础上，自愿建立的补充养老保险制度。是多层次养老保险体系的组成部分，由国家宏观指导、企业内部决策执行。
我国正在完善的城镇职工养老保险体系，其由基本养老保险、企业年金和个人储蓄性养老保险三个部分组成。企业年金是城镇职工养老保险体系的“三个支柱”的重要组成部分，被称为“第二支柱”，在企业发展、员工激励和职工权益保护等方面发挥着不可替代的重要作用。2004年我国劳动和社会保障部相继出台了《企业年金试行办法》和《企业年金基金管理试行办法》，标志着我国企业年金制度已走向规范化运作，越来越多的企业开始实行企业年金制度。2016年人社部发布了《职业年金基金管理暂行办法》（人社部发〔2016〕92号），2007年人力资源和社会保障部会同财政部修订出台了《企业年金办法》（人力资源社会保障部令第36号），进一步完善了企业年金相关政策。
根据法律规范的程度来划分，企业年金可分为自愿性和强制性两类。
（1）自愿性企业年金。以美国、日本为代表，国家通过立法制定基本规则和基本政策，企业自愿参加；企业一旦决定实行补充保险，必须按照既定的规则运作；具体实施方案、待遇水平、基金模式由企业制定或选择；雇员可以缴费，也可以不缴费。
（2）强制性企业年金。以澳大利亚、法国为代表，国家立法，强制实施，所有雇主都必须为其雇员投保；待遇水平、基金模式、筹资方法等完全由国家规定。
根据待遇计发办法来划分，企业年金可分为缴费确定和待遇确定两种类型。
（1）缴费确定型企业年金。通过建立个人账户的方式，由企业和职工定期按一定比例缴纳保险费（其中职工个人少缴或不缴费），职工退休时的企业年金水平取决于资金积累规模及其投资收益。其基本特征是：①简便易行，透明度较高；②缴费水平可以根据企业经济状况作适当调整；③企业与职工缴纳的保险费免予征税，其投资收入予以减免税优惠；④职工个人承担有关投资风险，企业原则上不负担超过定期缴费以外的保险金给付义务。
（2）待遇确定型企业年金。基本特征是：①通过确定一定的收入替代率，保障职工获得稳定的企业年金；②基金的积累规模和水平随工资增长幅度进行调整；③企业承担因无法预测的社会经济变化引起的企业年金收入波动风险。
本章小结
1．货币的时间价值是指一定量货币在不同的时间具有不同的价值。货币具有时间价值，反映了货币（或资本）的稀缺性和机会成本的价值观念。
2．财务决策是在估值的基础上进行的，因此货币时间价值的计算在企业财务决策中非常重要。货币时间价值的计算通常用复利计算。
复利现值
，复利终值FV=PV(1+i)n。
3．复利利率（贴现率）的计算公式：
4．期限的计算公式：
5．使资金倍增所要求的利率（i）与投资期数（n）之间的关系，可用i×n≈72近似地表示。这是一个非常有用的经验公式，称为72法则。
6．在考虑通货膨胀的情况下，名义利率、实际利率和通货膨胀率之间的关系是：
(1+名义利率)＝(1+实际利率)×(1+通货膨胀率)，或近似地：名义利率＝实际利率＋通货膨胀率。在计算现值时，现金流量与折现率之间应该保持一致性，即名义现金流量应以名义利率折现，而实际现金流量应以实际利率折现。
7．一定时间内每期相等金额的收付款项，称为年金。年金按现金流量发生时点的不同，分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。这些年金现值的计算，具有重要的现实意义。简化的各种年金现值计算公式如下。
普通年金：
预付年金：PV=PVIFAi,n·(1+i)=A×[(P/A,i,n-1)+1]。
递延年金：PV=A·PVIFAi,n·PVIFi,m=A[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]=A(P/A,i,n)(P/F,i,m)。
永续年金：
增长年金：
永续增长年金：
复习思考题
1．如何理解货币时间价值在企业财务管理中的重要性？
2．财务管理中货币时间价值的计算为什么采用复利而不是单利？
3．何为名义利率？何为实际利率？它们之间有什么关系？
4．在通货膨胀情况下，名义利率、实际利率与通货膨胀率之间有什么关系？
5．何为年金？年金有几种？普通年金与预付年金现值与终值计算之间有什么关系？
练习题
1．某人退休时有现金10万元，拟选择一项固定收益的投资，希望每个季度能收入200元补贴收入。则该项投资的实际年收益率是多少？假设现在的通货膨胀率为2.8%，银行一年期存款利率为3.5%。问此人的该项投资与银行存款相比，哪个更好？
2．某人准备在第5年年底获得1000元收入，年利息率为10%。计算：
（1）每年计息一次，则现在应存入多少钱？
（2）每半年计息一次，则现在应存入多少钱？
3．华盛顿－大西洋公司投资400万元来清理一块地并种植小松树苗，树苗在10年后长大成形，公司估计出售松树可获得800万美元，要求：计算华盛顿－大西洋公司的预期收益率。
4．为了结束你在商学院最后一年的课程，并在下一年转到法学院，你在未来的4年里，每年需要10000元（也就是说，你需要现在提取第1年的10000元）。你叔叔很富有，将为你提供资金援助，他将一笔足以支付4次10000元的款项存入银行。该银行每年进行一次复利计算，利率为7%，他现在就存入款项。计算：
（1）他需要存入多少？
（2）你第1年提款后账户里有多少钱？最后一次提款后呢？
5．假设某位家长为两个孩子的大学教育攒钱。两个孩子相差两岁，老大将在15年后上大学，老二则在17年后上大学。大学学制为4年，预计每个孩子的学费为每年21000元，年利率为15%。假设从现在起一年后开始存款，直到老大上大学为止，那么该家长每年应存多少钱才够两个孩子的学费？
6．假设银行一年期存款利率为3.5%，通货膨胀率为2.5%，则实际利率是多少？若通货膨胀率为4%，则实际利率是多少？