第3章　矩　阵

3.1　考点归纳

一、矩阵的运算

1．加法

（1）定义

设

是两个s×n矩阵．则矩阵

称为A和B的和．记为C＝A＋B．相加的矩阵必须要有相同的行数和列数．

（2）运算法则

①A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C（结合律）；

②A＋B＝B＋A（交换律）；

③A十0＝A

④A＋（－A）＝0

⑤A－B＝A＋（－B）

⑥秩（A十B）≤秩（A）＋秩（B）．

2．乘法

（1）定义

设A＝（a_ik）_sn，B＝（b_kj）_nm，那么矩阵C＝（c_ij）_sm，其中

称为A与B的乘积，记为C＝AB．

（2）运算法则

①在乘积的定义中，要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等；

②（AB）C＝A（BC）（结合律）；

③不适合交换律，即ABBA；

④A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）＝BA＋CA（分配律）．

（3）单位矩阵

主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩阵

称为n阶单位矩阵，记为E_n，或者在不致引起含混的时候简单写为E．

3．数量乘法

（1）定义

矩阵

称为矩阵A＝（a_ij）_sn与数k的数量乘积，记为kA．即用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k．

（2）运算法则

①（k＋l）A＝kA＋lA；

②k（A＋B）＝kA＋kB；

③k（lA）＝（kl）A；

④1 A＝A；

⑥k（AB）＝（kA）B＝A（kB）；

⑦kA＝（kE）A＝A（kE），kE＋lE＝（k＋l）E，（kE）（lE）＝（kl）E，其中kE是数量矩阵．

4．转置

（1）定义

设

A的转置就是指矩阵

显然，s×n矩阵的转置是n×s矩阵．

（2）运算法则

①（A'）'＝A，

②（A＋B）'＝A'十B'，

③（AB）'＝B'A'，

④（kB）'＝kB'

二、矩阵乘积的行列式与秩

1．矩阵乘积的行列式

（1）行列式乘积定理

设A，B是数域P上的两个n×n矩阵，那么｜AB｜＝｜A｜｜B｜，即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积．可以推广到多个矩阵乘积的情形．

（2）退化的定义

数域P上的n×n矩阵A若是满足｜A｜≠0，则称A为非退化的；若｜A｜＝0则称A为退化的．

2．矩阵乘积的秩

设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过各因子的秩，此结论也可以推广至多个矩阵乘积的情形．

三、矩阵的逆

1．逆矩阵

对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称A是可逆的．这里E是n阶单位矩阵，那么B就称为A的逆矩阵，记为A^-1．

2．矩阵的迹

n阶矩阵A的迹等于A的主对角线元素的总和，记为tr（A）．

3．伴随矩阵

设A_ij是矩阵

中元素a_ij的代数余子式，矩阵

称为A的伴随矩阵．

4．定理

（1）矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而

（2）如果矩阵A，B可逆，那么A'与AB也可逆，且

（3）A是一个s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么

秩（A）＝秩（PA）＝秩（AQ）

（4）AA^＊＝A^＊A＝｜A｜E，提供了求伴随矩阵的简单方法．

5.N阶逆矩阵的初等变换求法

（1）构造一个n×2n的矩阵（A｜E）；

（2）对矩阵（A｜E）只进行初等行变换，直到左部矩阵A变成单位矩阵E；

（3）此时，右部的矩阵就是所求的逆矩阵A^-1

四、矩阵的分块

1．定义

设A＝（a_ik）_sn，B＝（b_jk）_nm，把A，B分成一些小矩阵：

　 （1）

　  （2）

其中每个A_ij是s_i×n_j小矩阵．每个B_ij是n_i×m_j，矩阵A的列的分法与矩阵B的行的分法一致，于是有矩阵

  （3）

其中

（4）

2．对角矩阵、准对角矩阵、三角矩阵

（1）对角矩阵

形式为

的矩阵，其中a_i是数（i＝1，2，…，l）．通常称为对角矩阵．

（2）准对角矩阵

形式为

的矩阵．其中A_i是n_i×n_i，矩阵（i＝1，2，…，l），通常称为准对角矩阵．

（3）三角矩阵

三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种．上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零．

五、初等矩阵

1．定义

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．

2．等价矩阵

若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得到，则称A与B为等价的．两个s×n阶矩阵A、B等价的充分必要条件是存在s阶可逆矩阵P与可逆的n阶矩阵Q使得A＝PBQ．

3．初等变换

对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n的初等矩阵．

4．标准形

任意以个s×n阶矩阵A都与一形式为

的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，主对角线上1的个数等于A的秩（1的个数可以是零）．

5．可逆矩阵与初等矩阵的关系

初等矩阵都是可逆矩阵，但反之不然．可逆矩阵总可以经过一系列初等行变化成单位矩阵．

六、分块乘法的初等变换及应用举例

1．分块乘法的初等变换性质

（1）用分块初等矩阵左乘分块矩阵A，在保证可乘的情况下，其作用相当于对分块矩阵A进行一次相应的初等行变换，

（2）用分块初等矩阵右乘A，其作用相当于对分块矩阵A进行了一次相应的初等列变换．

2．应用举例

矩阵

A，D可逆，求T^-1

解：

及

易知