第6章　导数和微分

1．设f（x）在[－1，1]上有二阶连续偏导数，f（0）＝0，令

，

证明：

（1）g（x）在x＝0处连续且可导，并计算g＇（0）；

（2）g＇（0）在x＝0处也连续。[南京大学、复旦大学、南京理工大学、中北大学研、上海理工大学、华东师范大学2006研]

证明：（1）由于

并由L’Hospital法则知

所以，g（x）在x＝0处连续且可导，

（2）由于

所以由L’Hospital法则知

故g＇（x）在x＝0处也连续。

2．问函数，在x＝0处最高能有多少阶导数？这个导数值是多少，并给出证明。[中北大学研]

解：当x≠0时，有

所以

但不存在，故在x＝0处，最高能有二阶导数，且

3．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的，都有。若f＇（0）＝1，证明：对任意的x∈R，都有。[江苏大学2006研]

证明：在中令，有。又由知，f（x）不恒为零，故有f（0）＝1。由导数的定义和可得

4．设，求．[华南理工大学、南京师范大学研]

解：对方程两边关于x求导可得，所以对上述的一阶导数表达式

两边再关于x求导得，代入的表达式，得。

5．设y＝y（x）由等式确定，求．[中国地质大学2006研]

解：，因为方程组中第二个方程是y关于t的一个隐函数，则对第二个方程关于t求导可得，所以

下求．

当t＝0时，易知y（0）＝－1，，于是

故有．

6．设求[华东师范大学研]

解：

k为奇数时，k为偶数时，．

7．求出函数的导函数f'（x），讨论f'（x）的连续性（若有间断点，须指出其类别）．[内蒙古大学研]

解：当x≠0时

不存在．

不存在，因此x＝0是f'（x）的惟一间断点，它是第二类间断点．

8．椭圆上任意两点联结成的线段，称为此椭圆的弦．证明：椭图的任意两条平行弦之中点联线必经过原点（即椭圆中心）．[上海化工学院研]

证明：设两条平行弦分别为AB与CD，这4点的坐标分别为

（1）若AB与CD都平行于x轴（或y轴），则结论显然成立．

（2）若AB、CD的斜率都是k∈（0，＋∞），则

两弦AB与CD两弦中点分别为．再设EO和FO的斜率分别为，则

①

由于在椭圆上，所以

②

　 ③

将②，③代入①得

　  ④

类似可得

  ⑤

由④，⑤得，从而E、O、F在一条直线上，即两弦中点联线过原点．