2.2 任意载荷振动问题分析的Chebyshev谱元法

谱近似可以自由选择插值次数，获得p收敛，而有限元近似可以柔性地处理复杂设计域并自由地选择单元尺寸，获得h收敛，谱元近似融合了谱近似和有限元近似的优点。

2.2.1 振动问题及其积分形式

考虑振动问题的一般形式为

式中，Ar是关联矩阵，关联着质量、阻尼和刚度，并假设与时间t无关；x和f是时间t的函数。

在Chebyshev谱元法中，为了得到振动问题的数值解，运用Bubnov-Galerkin法，引入一个权函数W，将其与式（2.20）两边同时相乘，并在时间域上积分，得到了振动问题的积分形式：

式中，T表示时间域。

2.2.2 时间单元划分

作为一种有限元方法，解空间Ω可划分为Ne个互不重叠的单元空间，即

谱元法通过在每个单元Ωe中进行谱扩展来近似一个函数。将单元节点基函数作为形函数，在单元Ωe上，振动位移可以近似为

式中，表示单元Ωe上的振动位移近似函数；表示单元Ωe上第i个节点的位移值；表示定义在单元Ωe上的重心Lagrange节点基函数；Nesol表示每个单元解节点的个数。

2.2.3 振动微分方程离散

下面我们采用Chebyshev第二类多项式来构造节点基函数。在标准区间［-1，1］上，N阶节点基函数可以表示为Lagrange插值多项式，它会通过N+1个Chebyshev-Gauss-Lobatto点，即

应用中心插值公式，Lagrange插值多项式可以表示为

从图2.4中可看出，节点基函数的Kronecker δ的特性（如果两者相等，则其输出值为1，否则为0），这就保证了式（2.23）中扩展系数与节点值一致，并且保证施加了边界条件。

为了获得一般单元Ωe的节点基函数，需要进行节点坐标转化。节点基函数在标准单元Ωst和一般单元Ωe中的关系可以表示为

式中，x=x（ξ）定义坐标从一般单元Ωe到标准单元Ωst的转化；∇x是关于x的梯度操作算子；∇ξ是关于ξ的梯度操作算子；J是Jacobian矩阵。

在本研究中，一维坐标转化可以表示为

式中，ξ∈［-1，1］，x∈［a，b］。Jacobian矩阵为常数（b-a）/2。

将式（2.23）代入式（2.21），权函数为Wj（ξ），然后在整个时间域上积分，可以得到

当权函数为谱元近似节点基函数时，即Wi（ξ）=φi（ξ），这种谱元法称为Galerkin谱元法；当权函数为振动微分方程左面的表达式时，这种谱元法称为最小二乘谱元法。本研究采用Galerkin谱元法。将φj作为权函数代入式（2.29），转化为线性方程组得

其中，

K和F可以写为

其中，

矩阵A、B、D可通过Gauss-Chebyshev-Lobatto求积公式［88］获得。

2.2.4 边界条件施加

速度初始条件：将K的第一行和第一列中除第一个元素外的其他元素都强制等于零，对应F中的第一个元素强制等于速度初值。

位移初始条件：将K的第（N+1）行和第（N+1）列中除第（N+1，N+1）个元素外的其他元素都强制等于零，对应F中第（N+1）个元素强制等于位移初值。