
7.6 微分法在几何上的应用
在第2章中我们学习了平面曲线切线的定义与切线方程的求法,这一节将讨论空间曲线的切线方程及曲面的切平面方程的求法.
7.6.1 空间曲线的切线与法平面
1.切线、切向量、法平面的概念
与平面曲线类似,空间曲线的切线有如下定义:
设在空间曲线Γ上有一个定点M,在其邻近处取Γ上另一点M′,并做割线MM′.令M′沿Γ趋近M,如果割线无限接近于直线MT,称割线MM′的极限位置MT是曲线Γ在点M的切线,如图7-18所示.
切线的方向向量称为曲线在点M处的切向量,记为τ.
过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.

图7-18
2.空间曲线的切线、法平面方程
下面就曲线方程的三种不同形式进行讨论.
情形1(参数方程)
设空间曲线Γ的方程为,ψ(t),φ(t),ω(t)均可导,且导数不全为零,求对应t0的点M0(x0,y0,z0)处的切线方程与法平面方程.
为求得该点处的切线,在Γ上任取与M0(x0,y0,z0)邻近的t=t0+Δt对应的另一点M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz),则割线M0M的方程是


由切线的定义,当M→M0时,割线方向向量的极限为切向量,此时,Δt→0,因此,曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切向量为

即 τ=(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)).
所以,曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线方程为

法平面方程为
φ′(t0)(x-x0)+ψ′(t0)(y-y0)+ω′(t0)(z-z0)=0.
【例1】 求曲线Γ:x=t,y=t2,z=t3在t=1对应点处的切线方程和法平面方程.
解 当t=1时,x=1,y=1,z=1.
又 x′=1, y′=2t, z′=3t2.
代入得切向量 τ=(x′(1),y′(1),z′(1))=(1,2,3).
因此,切线方程为

法平面方程为
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,
即 x+2y+3z-6=0.
【例2】 求曲线Γ:x=t-sint,y=1-cost,在点
处的切线方程和法平面方程.
解 点对应于
.





情形2
设空间曲线Γ方程为:,φ(x),ψ(x)均可导,则Γ的参数方程为

从而,曲线Γ在M(x0,y0,z0)处的切线方程为

法平面方程为
(x-x0)+φ′(x0)(y-y0)+ψ′(x0)(z-z0)=0.
情形3(一般式方程)
设空间曲线Γ的方程为:,设M0(x0,y0,z0)是曲线Γ上一定点,且F(x,y,z),G(x,y,z)在M0的某邻域内都存在一阶连续的偏导数,且
,求点M0(x0,y0,z0)处的切线方程与法平面方程.
由隐函数存在定理知,方程组可确定一元函数组
,且

由情形2得,曲线Γ在点M0(x0,y0,z0)的切向量为τ=(1,y′(x0),z′(x0)),于是曲线Γ在点M0(x0,y0,z0)的切线方程为


曲线Γ在点M0(x0,y0,z0)处的切向量为

法平面方程为

【例3】 求曲线在点(1,1,3)处的切线方程及法平面方程.
解 令 F(x,y,z)=x2+z2-10, G(x,y,z)=y2+z2-10.
则 Fx=2x, Fy=0, Fz=2z, Gx=0, Gy=2y, Gz=2z.

故所求的切线方程为

法平面方程为
3(x-1)+3(y-1)+(-1)·(z-3)=0,
3x+3y-z=3.
7.6.2 曲面的切平面与法线
1.切平面法线的概念
设有曲面Σ:F(x,y,z)=0(见图7-19),M(x0,y0,z0)为Σ上的一点,函数F(x,y,z)在点M的偏导数连续且不全为零,则在曲面Σ上的任意一条过点M的光滑曲线在点M的切线都在同一个平面π上,这个平面称为曲面Σ在点M的切平面.称曲面在点M处切平面的法向量为曲面在点M处的法向量.过M点垂直于切平面的直线,称为曲面Σ在点M的法线.
2.切平面法线方程的求法
下面就曲面方程的两种不同形式进行讨论.
(1)设曲面方程为
Σ:F(x,y,z)=0,
点M0(x0,y0,z0)为Σ上任取的一点,函数F(x,y,z)在M0处的偏导数连续且不全为零,下面求曲面Σ在点M0的切平面方程.
分析 只需求曲面的法向量,在曲面Σ上任意作一条过M0的曲线

其中,x(t),y(t),z(t)在点M0对应的t0处可导,且导数不同时为零.因Γ⊂Σ,所以可以将Γ的方程代入曲面方程,即
F(x(t),y(t),z(t))=0.
由F(x,y,z)在点M0处的偏导数连续及x(t),y(t),z(t)在t0处可导,得


令,而τ=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))是曲线Γ在M0处的切向量,上式化为 n·τ=0.
这说明曲面Σ上的任意一条过点M0的光滑曲线在点M0的切线均与非零定向量n正交,由切平面的定义,n为曲面Σ在M0的法向量,过M0以n为法向量的平面为所求的切平面.因此,法向量为

切平面方程为

法线方程为

(2)设曲面Σ的方程为
z=f(x,y).
点M0(x0,y0,f(x0,y0))为Σ上任取的一点,若函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数连续,下面求曲面Σ在点M0处的切平面方程.
令F(x,y,z)=f(x,y)-z或G(x,y,z)=z-f(x,y),则曲面Σ在M0(x0,y0,z0)处的法向量为或
.因此,切平面方程为

法线方程为

【例4】 求曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程及法线方程.
解 令 F(x,y,z)=z-ez+2xy-3.
则点(1,2,0)处的法向量为

因此,切平面方程为
4(x-1)+2(y-2)+0·(z-0)=0,
即 2x+y-4=0.
法线方程为

【例5】 求圆锥面在点(3,4,5)处的切平面方程及法线方程.
解 令, 则法向量为

切平面方程为
3(x-3)+4(y-4)-5(z-5)=0,
即 3x+4y-5z=0.
法线方程为

【例6】 在曲面上求一点,使得该点的切平面与平面2x+y+z=0平行,并求出该点的切平面方程.
解 设曲面上的切点为(x0,y0,z0),则法向量为

依题意,切平面平行于已知平面,因此有

即所求切点为
(-1,-2,1).
切平面方程为
2(x+1)+(y+2)+(z-1)=0,
即 2x+y+z+3=0.
7.6.3 全微分的几何意义
设函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处可微,则曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为


注意到:等式左边为切平面上点的竖坐标z的增量,等式右边恰为z=f(x,y)在点(x0,y0)的全微分dz,因此函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全微分dz,等于曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的切平面在点P0(x0,y0)处的竖坐标的增量.
可见,全微分的几何意义与一元函数微分的几何意义类似.
最后,介绍一下平面曲线的切向量与法向量.
设平面曲线L的方程为,ψ(t)均可导,且导数不全为零),则对应于t0的点(x0,y0)处的切向量为τ=(φ′(t0),ψ′(t0)),法向量为n=(-ψ′(t0),φ′(t0)).
设平面曲线L的方程为F(x,y)=0(F(x,y)可微),则点P0(x0,y0)处的法向量为,切向量为
.特别地,设平面曲线L的方程为y=f(x)(f(x)可导),则点(x0,f(x0))处的法向量为n=(-f′(x0),1),切向量为τ=(1,f′(x0)).
习题7-6
1.求下列曲线在给定点处的切线方程和法平面方程:



2.求下列曲面在给定点处的切平面方程和法线方程:
(1)x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处;
(2)x2-xy-8x+z+5=0在点(2,-3,1)处;

3.求出曲线上一点,使在该点的切线平行于已知平面x+2y+z=4.
4.在曲面z=xy上求一点,使该点的法线垂直于平面x+3y+z=-9,并求出法线方程.
5.求数λ,使得平面3x+λy-3z+16=0与椭球面3x2+y2+z2=16相切.
6.求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程.
7.试证:曲面在任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.
*8.由曲线绕x轴旋转一周得到的旋转曲面在点(-1,-2,-3)处的切平面与x0y面的夹角的余弦值.