2.2 平面失稳

在进行运动学平面失稳分析时，一般假定存在侧向切割，这些侧向切割一般包括其他节理、裂隙、断层等切割，风、水流等造成的地表风化剥蚀，或者人工开挖等。图2-1为平面失稳模式分析图，由图可知，边坡平面运动学失稳条件为结构面能够在坡面出露。

2.2.1 矢量分析方法

运动学平面失稳分析图如图2-2所示。若仅考虑重力作用，任何一个可能沿单一平面滑动的岩块只能在平行于结构面倾斜方向的坡面上向下滑动。因此，仅考虑重力作用，平面失稳的运动学条件为：①α＞δ，其中δ为结构面的倾角，α为坡面在结构面的倾向方向上的视倾角，如图2-2所示；②0≤γ＜γPlim，其中γ为结构面倾向和坡面倾向的夹角，且γ的取值范围为0°～180°；γPlim为γ的限定值，取值范围为0°～90°, Goodman（1989）、Hoek和Bray（1981）分别建议取90°和20°。（注意：条件①中α为坡面的视倾角，不是真倾角；条件②其实就是工程地质领域常说的“顺层滑坡”的概念。）

以下介绍视倾角与真倾角的计算关系。如图2-3所示，ABCD为坡面，η为坡面的真倾角，α为坡面的视倾角，δ为结构面的真倾角，N是正北方向，β为坡面的倾向，θ为结构面的倾向，γ为坡面倾向和结构面倾向之间的夹角。

在Rt△AO B中有

在Rt△AOC中有

在Rt△OBC中有

由式（2-1）～（2-3）得

其中γ可由下式获得

式（2-4）为由视倾角计算真倾角的计算公式。变换式（2-4）可得由真倾角计算视倾角的计算公式

以上分析仅讨论运动学失稳条件，而坡体真正发生失稳除了满足上述两条运动学失稳条件外，同时还需满足力学上的失稳条件：下滑力大于阻滑力。在仅考虑重力且不考虑结构面的黏聚力时，平面失稳的力学条件为δ＞φ，其中φ为结构面的内摩擦角，δ为结构面的倾角。考虑复杂受力情况时，可采用极限平衡分析法中常用的方法计算下滑力和阻滑力（Wyllie et al.,2004）。

以上是利用运动学分析来确定岩体可能的平面失稳模式，而运动学分析的另一个常用功能是在给定坡面走向的情况下，确定边坡的最大安全开挖角（MSSA）。从上述分析可知，假如γ≥γPlim，不论α取什么值，运动学平面失稳都是不可能发生的，即MSSAPK=90°；假如γ＜γPlim，当坡面在结构面倾向方向上的视倾角α等于结构面的真倾角δ时，边坡处于运动学失稳的临界状态，那么此时边坡的真倾角η即平面运动学上的边坡最大安全开挖角（MSSAPK）。故由式（2-4）可知

因此综合考虑平面运动学失稳和力学失稳条件，有

以上两式中，下标PK中的K表示运动学分析（kinematic），P表示平面失稳。

2.2.2 赤平极射投影图解法

赤平极射投影是解析平面和直线的空间课题的一种图解方法，利用赤平极射投影图来表示和测读空间上的平面或直线的方向和角度，以及它们之间的角距，可以完全用图解的方法代替繁杂的计算公式演算，既简便迅速，也比较直观（孙玉科等，1980）。赤平极射投影分析方法是岩石边坡运动学分析的另一重要工具。

根据赤平极射投影原理（可参考附录Ⅰ）可知，采用下半球投影时，如果可能滑动的结构面的倾斜矢量（最大斜度线所指的向下方向的矢量）位于坡面大圆以内的“斜线”阴影区域内（见图2-4），则上述平面失稳的运动学条件①和②均能满足。图2-4中，Ds、D1、D2和D3分别表示切坡、结构面1、结构面2和结构面3的倾斜矢量。在图2-4（a）中，选定γPlim=90°，由图可知，从运动学角度看，结构面1和3可能出现滑动，而结构面2则不可能出现滑动；在图2-4（b）例子中，选定γPlim=20°，由图可知，从运动学角度看，结构面1可能出现滑动，而结构面2和3不可能出现滑动。

以上赤平极射投影分析仅讨论运动学失稳条件，而坡体真正发生失稳除了要满足运动学失稳条件外，同时还需满足力学上的失稳条件：下滑力大于阻滑力。在仅考虑重力且不考虑结构面的黏聚力时，平面失稳的力学条件为：可能滑动的结构面的倾斜矢量位于以O点为圆心、90°-φ为半径的小圆内侧的“方形”阴影区域内（见图2-5），其中φ为结构面的内摩擦角。在图2-5中，从力学角度看，结构面1和2可能出现滑动，而结构面3不可能出现滑动。因此，综合运动学和力学失稳条件，该岩体会沿结构面1滑动，而不会沿结构面2和3滑动。

以下介绍如何利用赤平极射投影图确定边坡的最大安全开挖角。仍以图2-5中的三个结构面和坡面走向为例，γPlim取90°。第1步，作三个结构面的倾斜矢量D1、D2和D3，坡面的走向线AB，坡面的倾向线OC，以及相应的摩擦圆（见图2-6（a））；第2步，由于D3位于摩擦圆外，故结构面3对应的MSSAP3等于90°；D1和D2位于摩擦圆内，分别过A、B与D1三点和A、B与D2作圆弧即为切坡大圆（见图2-6（b）），此时切坡大圆在坡面倾向方向上的倾角（图中的线段CDs1和CDs2）即为结构面1和2分别对应的MSSAP1和MSSAP2（见图2-6（b））。综合考虑结构面1、2和3的MSSAP，该边坡的MSSAP=MSSAP1（三个MSSA中的最小值）。