简单门槛模型的均衡结果

对上面所有例子而言，本模型的目的都是一样的：就是从起始的门槛分配均衡去预测最终多少比例或多少人采取了哪一个决定。数学上，这是在一个长时过程中如何找均衡的问题。一个简单的例子可以说明此一过程。

试想在一个范围内有100人——一个可能发生暴动的情境，假如他们发生暴动的门槛几率分配如下：一个人的门槛是0，一个人的门槛是1，一个人的门槛是2，如此顺序加上去直到最后一人门槛是99。这是一个门槛的一致性（uniform）分配。结果是十分明显的，就是“锦上添花”或“骨牌”效果：那个门槛是0的人就是“煽风点火”者，首先采取了暴动行为——打破一扇窗子。这个行为激励了那个门槛是1的人；这两个人的行为又激励了那个门槛是2的人……直到100个人都加入暴动。均衡结果就是100。

如果把门槛分配重新排列组合一下。改那个门槛是1的人为门槛是2。在我们的一般描述中，这两个群体几乎是相同的。但是结果却会截然不同——点火者暴动了却没有一个门槛是1的人跟上，所以暴动到此为止，均衡点是1人参加暴动。

即使这么简单的模型也说出了上面所论的重点：从总合的结果往前推论是十分危险的。报上报道两件事会南辕北辙，第一个个案是：“一群暴民加入了暴动”；而后者则是“一个麻烦制造者在善良的公民面前打破了一扇窗子”。我们知道（既然是我们创造出来的例子）这两群人几乎是完全相同的；其结果之所以那么不同是因为加总过程之不同，尤其是第二个个案中频率分配有一个空隙。

读者也许可以试着想想其他在新发明的采纳、谣言或疾病的传播、罢工、投票、加入大学以及离开社交场合、移民或从众行为上的类似例子。锦上添花效果在每一种情况中都可以看见，但是敏锐察觉个人偏好几率分配的研究却未受重视。门槛模型在了解个人偏好平均起来应该采取某一行动，但结果却完全不一样时会十分有用。其他社会学的模型却在这一点上不太有贡献。

建构一个从门槛的几率分配到均衡结果的数学模型是有可能的。x设定为门槛，f（x）就是门槛的几率分配，而F（x）则是累积分布函数，它指定了门槛小于x的人口比率。我们称在时间t（使用非连续的时间）时参加暴动的人数比率为r（t）。假设我们知道在特定时间点t的r（t）——比如说在第二期时（t＝2）60%的人加入暴动，那么第三期时会有多少人加入呢？答案是门槛小于或等于60%的所有人。这个过程的数学表达是一条差分方程式：

r（t +1）＝F［r（t）］

这个频率分配是个简单形式，也就是差分方程式在任何时间t上可以求解得到r（t）。设定r（t）＝r（t+1），则均衡值出现。倘若函数形式比较复杂，则均衡值就不可能靠向前循环求解（forward recursion）而得。在此一简单函数的假定中，参加暴动者不能又退出，也就是进进出出的行为是不被允许的，所以均衡总是能够被找到。

不需要差分方程式及向前循环求解，靠着绘图观察也可以找到均衡点。在图2－1中，我们用y轴表示累积分布函数，x轴表示门槛。如前所假设，r（t）为已知。既然r（t+1）＝F［r（t）］，我们察觉下一次暴动的人数比例相当于从x轴的r（t）箭头上指，所指向的c、d、f曲线上的那一点。为了使其还原到x轴上找到r（t+1），我们画一条45°线，使F（x）＝x。这个过程不断重复，可以找出r（t+2）＝F［r（t+1）］，以此类推。如图2－1中的c、d、f线所示，当r（t）趋于极限时是γe——也就是均衡点。极限就是c、d、f线第二次跨越45°线时。代数上这一点可以用F（r）＝r来表示。

图2－1 图解方式找出某一门槛分配的均衡点

注：r（t）＝在时间t上暴动人数比例

没有实证数据或理论上的原因而拼命追逐不同函数形态下的均衡解是不太有意义的。不过我还是会借着图2－1来呈现如果门槛是正态分配时均衡分析是什么。不过正态分配也是一个令我们较感兴趣的分配，对没有强烈倾向扭曲偏好分配的一群人而言，它是人们偏离中心偏好的一种正常分配形态。而且它的分析结果也是一样地出乎人们直觉之外而令人惊异，显示出这种吊诡的结果绝非特殊分配如平均分配所产生出来的特殊结果。

再一次想想100人；不过这一次假定他们的门槛分配是正态分配，中位数是25（那些门槛低于零的人就设定为零。理论上他们有不同的偏激程度，这在意识形态的显著与否上有意义，但在行动与否上却并无不同）。我们也会问，如果中位数保持不变而标准差改变，会对均衡结果产生什么影响？令人讶异的结果被绘于图2－2，图中均衡人数γc绘于Y轴，标准差σ绘于X轴。到达一个临界点σc，参加暴动的均衡人数逐渐上升到6个人。超过临界点，也就是标准差约在12.2时，γc忽然跳到接近100，之后又开始下降（σ的上限可以上达50，因为最终中位数的右边可被视为100，而左边则可被视为零）。

图2－2 暴动人数的均衡数与门槛正态分布的标准差

注：均值为25，个案数为100

数学上这是十分容易解释的。均衡会出现于累积分布函数与45°线第一次从上方交会处。一个正态分配的线会与45°线交会三次、两次或一次不等。当σ小于σc之时，第一次从下方交会在一个高点上，然后一次交会于其上，再一次交会于其下。在临界点之期时，前两次交会点重叠在一起，然后一次交会于其上。此后，只有一个交会点，而且接近于100，但随着概率密度的平缓，交会点却逐步下降。

可惜此一数学上的特殊现象却无社会现象与之相印证。我们很难找到社会学上的说辞来解释为什么正态分配在临界标准差附近的一个微小波动会有完全不连续且令人震惊的数量效果。这样小的波动也许只是起因于组成人口的一点小改变，或是情境上一点小变化使得门槛几率分配随之而变——一个看似不重要的原因以至于在理论探讨时人们会完全忽略它。当社会学总是专注在总体平均值会引起什么效果而不注意几率分配的改变时，这种忽略尤其容易产生。这例子又进一步足以阐述两群人平均倾向相同，却会有完全不同结果的现象。正如前面所述的例子，如果没有一个加总过程的模型，我们很难精确推论出偏好的结构。