1.3 复杂动力网络的同步及其研究现状

自从Pecora和Carroll首次提出驱动——响应的混沌同步方案并在电子线路上首次观察到混沌同步现象之后，在全球范围内掀起了混沌同步研究的热潮。过去十几年时间里，人们在相互作用的混沌系统中发现了不同的混沌同步类型，如按照动力学系统间同步程度可分为：完全同步（Complete Synchronization）、部分同步（Partial Synchronization）、广义同步（Generalized Synchronization）、相位同步（Phase Synchronization）、投影同步（Projective Synchronization）、滞后同步（Lag Synchronization）、阵发滞后同步（Intermittent Lag Synchronization）和预测同步（Anticipating Synchronization）等。到了20世纪末，包含大量相互作用的个体的复杂网络系统的出现和发展，越来越多的研究者开始关注复杂网络上的动力学，其中复杂网络上的同步成为人们研究的焦点之一。人们在网络的每个节点上加一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限环也可以是混沌系统；而让有边相连的两个节点之间存在相互的耦合作用，就形成了一个复杂动力网络。在这个复杂动力网络中，节点之间有相互连接和相互影响，这种连接可能很弱，但正是节点之间的这种连接作用，可以使得各个节点系统根据其他系统的状态来校正自己的状态，从而实现节点之间的同步。近年来，随着混沌同步理论和实验研究在概念和方法方面的发展以及复杂网络理论的迅速发展，越来越多的研究者投入到复杂网络上动力系统的同步研究中。

1.3.1 复杂网络的同步模式

不同的同步定义方式，产生了不同的同步模式，同步模式反映了不同动力系统之间通过相互作用而形成的某种具体的协调一致性。各种各样同步模式的相继出现反映出人们理解同步这一普遍现象的认知水平在不断深入和扩展。复杂网络的同步实际上是最初人们研究在两个混沌系统中混沌同步的推广，因此混沌系统中所研究的各种不同的类型同步都可以将其推广到复杂网络中来。下面我们按照动力学系统间的同步程度研究一下复杂动力网络中混沌同步的分类。

（1）完全同步

复杂网络完全同步，即当t→∞时，各个节点的状态为x1（t）→x2（t）→……→xN（t）→s（t），此时所有节点状态都相同，其中s（t）∈Rn为单个孤立节点的解，s（t）可以是一个平衡点、一个周期轨、一个非周期轨，甚至可以是相空间内的一个混沌轨道。复杂网络完全同步保证了复杂网络中每个振子在振幅与相位上都保持一致。近年来，含时延、时变耦合、权重耦合、非线性耦合及多重边等机制的复杂网络的完全同步开始广泛地被研究。完全同步是一种形式上最简单，研究最广泛的同步方式，后文提及的同步如不做特殊说明即指完全同步。

（2）相位同步

如果节点不完全相同的复杂网络系统很难产生完全同步，而可以实现一种中间同步态，那么可称之为相位同步。如果两个耦合节点的相位φ1和φ2之间以一定的比率n:m（n和m均为整数）锁定，即|nφ1-mφ2|＜C（其中C为常数），那么就称这两个耦合节点达到相位同步。相位同步是一类同步化程度比较弱的同步现象，它对应于相位锁定而幅度相关很弱或不相关的情况。现实世界的复杂系统中，不同单元间的动力学特性不同，信息通常是通过与时间相关的量（相位、频率、脉冲间隔等）在不同单元间传输，因此相位同步对于网络的信息处理有时也具有特殊的意义。

被公认为同步问题研究的开拓者之一的生物学家Winfree最初研究的就是有关相位同步方面的问题。Winfree假设每个节点只与它周围有限个节点之间存在强力作用，这样振子的幅值变化可以忽略，从而将同步问题简化成研究相位变化的问题。在此基础上，日本学者Kuramoto做了重要的简化：一个具有有限个恒等振子的耦合系统，无论系统内部各个振子之间的耦合强度多么微弱，它的动力学特性都可以由一个简单的相位方程来表示。此后，Kuramoto模型成为了研究网络系统相位同步的经典标准模型。进入21世纪以来，人们开始关注具有小世界和无标度等网络拓扑特性的复杂网络相位同步问题。网络中形成的同步簇中节点个数占整个网络节点数的比例反映了网络相位同步的程度。人们通过对小世界模型的相位同步研究发现，随着网络中长程边的增多，开始出现同步簇，并且簇中的节点逐渐增多，最终所有节点形成一个同步簇，相位同步出现饱和态，整个网络达到相位同步。无标度网络模型发生相位同步时，首先是度大的节点与周围相邻节点发生相位锁定，如果度大的节点受到干扰不同步后，它的相邻节点会“帮助”它返回到同步状态。随着耦合强度的不断增大，最终网络形成一个同步簇。此外，网络模体以及离散时间、非对称耦合网络的相位同步也受到越来越多的人们的关注。

（3）滞后/预测同步

滞后/预测同步是介于相位同步与完全同步之间的一种同步。它对应于一个系统在t时刻的输出与其他系统在t+τ（或t-τ）时刻的输出是相关的。也就是说，各个系统的输出在相位和振幅上相关，但存在一个时间差，即滞后同步指响应系统的状态输出除了在时间上以固定差值滞后于驱动系统外完全相同，而预测同步则相反，响应系统的输出则超前于驱动系统，它们都意味着两个系统在时移情况下状态的重合，不过是分别与其过去状态或者未来状态重合。不同的混沌系统在弱耦合下会发生相位同步，此时振幅保持无关。当耦合强度增大时，会出现滞后同步。当耦合强度继续增大时，系统会由滞后同步趋向于完全同步。在滞后同步中还存在一种特殊的形式——阵发滞后同步，即各个系统大多数时间是滞后同步的，但偶尔会出现非同步行为的爆发。文献[56]将阵发滞后同步解释为多个滞后同步的共存情况，而把阵发现象解释为一个滞后同步剧烈跳跃到另一个滞后同步的过程。

（4）投影同步

投影同步是指驱动系统和响应系统之间的相位锁定，且各对应状态的振幅最终趋于某一比例因子α，即响应系统y（t）的状态变量和驱动系统x（t）的状态变量之间存在着正比例函数关系：y（t）=α（x（t））。投影同步也是介于相位同步与完全同步之间的一种同步，它实际上是广义同步——所有振子的状态之间满足某种映射关系（即y（t）=F（x（t））的一个特例。而完全同步和反相同步分别是投影同步在比例因子α=1和α=-1的特例。投影同步是Mainieri和Rehacek于1999年在部分线性混沌系统中观察到的，之后它被广泛应用于保密通信中，可以将二进制数转换为M进制数以实现更快的传输。正是投影同步的这种性质，引起了广大学者的研究兴趣。早期关于投影同步的研究主要是在部分线性系统中，后来有人将其延伸到非部分线性系统中。随着复杂网络科学的兴起，已经有学者开始关注复杂网络上动力系统之间的投影同步，并取得了一定的研究成果。Hu等人通过耦合Lorenz系统研究了驱动——响应动力学网络上的投影同步。Feng等人还研究了复杂动力网络上的投影——滞后同步和投影——预测同步。

1.3.2 复杂网络的同步控制研究现状

早期对复杂网络的同步控制研究主要集中在物理学科。对物理学家而言，研究的目标是理解网络的拓扑结构对复杂系统物理过程的影响。因此，复杂动态网络系统的同步控制问题一大类是集中在基于网络同步能力方面的研究，这类方法主要以主稳定函数判据推导出的网络同步能力参数为依据，侧重研究网络本身的属性对复杂网络同步的影响，以此利用不同方法如改变网络的拓扑结构、设计自适应耦合强度等来提高网络的同步能力；另一类则是以控制理论研究为代表的控制方法。在这类方法中，主要把复杂网络当作一个受控系统，采用设计控制器如线性反馈控制器、自适应控制器、脉冲控制器和切换控制器等来保证网络同步的实现。下面分别介绍这两大类方法的研究现状。

（1）基于提高网络同步能力的控制方法

网络的同步能力一般采用主稳定函数判据中的同步化区域S具有单一的有界形式来定义的，即可以用对应的耦合矩阵A的第二大特征值λ2或耦合矩阵A的最小特征值λN与第二大特征值λ2的比值作为比较网络拓扑结构同步能力的依据。例如在文献[97]中，Nishikawa等人系统地讨论了网络的特征度量与网络同步能力间的关系，并指出网络的同步能力与网络的平均路径关系不大，但度和介数（betweenness）的分布却能较好地表征网络的同步能力。基于特征值比值R，通过改变耦合强度和方式，改变网络拓扑结构，设计自适应同步网络等方法都能够达到提高网络同步能力的目的。

在利用改变耦合强度和方式提高网络同步能力方面，2005年，Motter等人重新定义了耦合矩阵，提出了一种通过调节耦合强度的方法来降低度分布不均匀性的方法；Hwang和Zou等人发现，相对增强“年老（即点加入网络的时间早）”节点对“年轻”节点的作用会使得生长无标度网络的同步能力增强，即当“年老”节点的耦合起主导作用时网络具有更强的同步能力；Chavez等人提出了通过边的介数来调节节点间耦合强度的方法能够增强网络的同步能力；考虑到网络中节点可能不具有年龄特点及难以利用大规模网络的全局信息等问题，Zhao等人利用网络的局域信息设计耦合矩阵，显著地提高了网络的同步能力，这一方法适用于各种不同的网络结构。此外，还可以通过设计网络输出函数来改变节点的耦合方式，将网络的同步化区域由有界区间调整为无界区间，增大了网络的同步化区域，从而达到增强网络同步的目的。

网络的拓扑结构决定了网络的同步能力，改变网络拓扑结构是提高网络同步能力最直观的方法。在利用改变网络拓扑结构提高网络同步能力方面，Hong等人由数值分析比较去掉网络中最大介数的节点前后网络同步能力的变化，验证了网络的最大介数越大，同步能力越差；Zhao等人提出了结构微扰法，网络可通过为介数最大的节点增加一组或几个全连通的辅助节点较小改变，从而有效地提高网络的同步能力；Zhou等人则通过缩短一类交叉双循环网络的平均路径长度来达到提高网络的同步能力；Yin等人研究了在无标度网络中删除网络中的一些过载边会明显地提高网络的同步能力。

从网络同步的实现是基于动态耦合关系出发，复杂网络往往能够自主地实现同步。在利用设计自适应同步网络提高网络同步能力方面，Zhou等人研究发现，若节点的耦合强度随该节点及邻居间局域信息自适应调节，则网络会在耦合的作用下达到稳定的同步态；Huang提出了一种利用节点与邻居节点状态变量的差来调节网络节点间的耦合强度的方法及网络实现同步的证明；Chen等人则利用网络的全局信息，即网络所有节点与同步解的差值来设计整个网络的耦合强度，在这种自适应耦合方式下，网络的同步能力得到极大的提高，并能够获得使网路同步的最小耦合强度；Boccaleth等人提出了一种同时改变耦合强度和耦合矩阵拓扑结构以提高网络同步能力的方法；Sorrentin针对时变演化网络提出了利用节点接受一个邻居信号的自适应同步策略。

（2）基于设计控制器的同步控制方法

设计网络控制器的初衷来源于控制理论，一直以来，控制领域的学者都在思考如何结合网络的特性通过控制手段来提高网络的性能，并利用一些控制策略进行了初步的研究，即将复杂网络看成是一个受控系统，网络实现同步看作是控制目标，将设计网络控制器看成是用于实现目标的控制手段。由此，将复杂动态网络系统的同步控制问题转化为受控系统的控制器设计问题，并可以应用现有的控制理论中的控制思想和控制方法进行网络控制器的设计。因此，从控制方法上，复杂动力网络的同步控制可分为线性控制、自适应控制、脉冲控制、切换控制等，或是几种控制方法的结合。设计网络同步控制器的基本手段是对网络中的每个节点实施控制作用，这来源于大系统理论中的分散控制思想。但由于复杂网络系统节点海量，若对每个节点施加控制需要付出巨大的控制代价。因此，对大尺度网络中每个节点设计控制器往往不合理，甚至是无法实现的，人们希望能够仅对网络中的一部分节点之间施加反馈控制，由此牵一发而动全身，从而能够将规模庞大的复杂动力网络的每个节点达到同步，获得很高的控制效率，牵制控制由此应运而生。因此，按施加控制器的节点的多少，复杂动力网络的同步控制可分为一般的分散控制和牵制控制等。下面我们简单介绍近年来复杂网络系统同步控制的研究进展。

自适应控制。基于现实世界中复杂网络系统的每个节点的不确定性，Li等研究了不确定性动态网络，通过设计鲁棒自适应控制器，探讨了局部和全局鲁棒自适应同步控制问题；而zhou等人利用不同的分析方法研究了不确定动态网络系统，得到了比文献[112]的结论保守性小的条件，并设计了更简单的自适应控制器；Chen等人考虑更加广义的不确定复杂网络系统，此类系统中节点的动力行为和耦合函数都具有不确定性，文中基于Lasalle不变原理设计了自适应控制器，并发现星形网络和无标度网络在非均匀内部耦合的情形下，只要控制部分节点就能达到同步。上述研究结果中所设计的控制器都是基于全局信息，而在实际中往往很难获得，Lu等人利用网络中每个节点邻居的信息，针对不确定动态网络设计自适应控制律，文中的两种自适应控制律分别用于同步化网络和牵制控制网络，尽管它们可以成功地应用到所有的网络，但是网络的拓扑结构会影响到收敛速度和牵制的强度。

脉冲控制。由于许多复杂动态网络的状态不仅仅是单纯的连续量或离散量，而是两者同时存在与作用的现象。因而，Yao等人提出了一种新的混杂复杂动力网络模型，利用Lyapunov稳定性，研究了此类系统在脉冲控制下的镇定问题；在此基础上，Guan等人考虑了时变拓扑的复杂网络模型，利用混合脉冲和切换控制，得到了时变的混合脉冲和切换控制的复杂网络控制模型，其中每个节点随着时间和脉冲的影响进行切换，并给出了此类系统渐近稳定的条件；Li等人利用脉冲函数微分方程，研究了节点为神经网络模型的时延耦合网络系统。通过脉冲反馈控制，保证了时延复杂动态网络系统的鲁棒同步稳定；Yang等人建立了同时具有不确定参数和时变时延的脉冲耦合复杂切换网络模型，通过脉冲切换混合控制，保证了该复杂动态网络系统的鲁棒同步。

牵制控制。牵制控制是人们在进行复杂系统控制研究时为减少控制器数目所做的一种尝试。这种控制的基本思想是对网络中的少量节点施加控制作用来实现控制整个网络时空混沌行为的目的。对于一个包含大量节点的复杂网络而言，控制网络的少量节点以达到整个复杂网络的同步显然比控制网络中的每个节点的方法简单得多。实际上，这种由局部控制进而控制全局的控制手段进一步发展了分散控制，也为控制复杂系统提供了新的手段。在对牵制控制的理论研究中，牵制控制最早应用于规则网络的时空混沌控制；后来Grigoriev等人尝试将耦合映象格子的部分节点引入局部线性反馈控制以达到控制高维系统的时空同步；Parekh等人进一步研究了耦合映象格子中时空混沌的全局和局部控制。近年来随着复杂网络研究的兴起，牵制控制已被用于控制大规模动态复杂网络的同步问题。Wang和Chen首次将牵制思想用于复杂网络控制，给出了研究复杂网络牵制控制的数学模型，并实现了对一致连接无标度网络的平衡点的控制；Li等人在Wang和Chen工作基础上系统地研究了复杂网络牵制控制问题，利用Kronecker积和稳定性相关理论给出了一致连接耦合网络关于平衡点实现局部稳定和全局稳定的证明，同时，他还对具有无标度特性的受控网络提出了两种典型的牵制策略：特定牵制即依次选择网络中度最大的若干节点施加控制作用，随机牵制即随机选取网络中若干节点进行控制，通过数值仿真发现，在控制网络到平衡点时，只控制那些度大的节点所需的牵制节点数目比随机牵制控制所需的节点数目少很多，这一工作引发了国内外众多科研工作者对复杂动态网络牵制控制问题的研究兴趣；Duan等人则讨论网络节点为线性与区域非线性系统的复杂网络牵制控制问题，并给出了相应的充分条件和必要条件；Xiang等人讨论了复杂网络在具有不对称加权耦合矩阵的牵制控制能力问题；Zou等人研究了不对称加权无标度网络的牵制控制能力，并指出存在一临界牵制比例pc，对于特定牵制比例p＞pc总能提高网络的牵制能力；Chen等人研究了含时延、加权耦合网络的牵制控制问题。这些研究成果表明牵制控制的确能够起到增强网络同步的作用。在分析牵制控制能力的方法方面，Xiang等人引入了李亚普诺夫V-稳定性，将网络的稳定性问题转化为描述网络拓扑结构的一个矩阵的负定性判断问题，进而可以用来讨论复杂网络的牵制控制；Porfiri等人将牵制控制问题等价为系统的全局渐近稳定问题，并利用李亚普诺夫稳定性理论和代数图论给出了网络拓扑结构形式的牵制同步充分条件；Sorrentino等人通过引入一个新的虚构节点重新定义了一个规模为N+1的新网络，将牵制控制问题等价为网络同步分析问题，进而可利用主稳定函数方法进行牵制控制能力的分析，这彻底解决了应用线性反馈牵制复杂网络同步的可行性分析问题。