1.3 数制与编码

1.3.1 数制

所谓“数制”就是计数的进制。在日常生活中，人们最熟悉的是十进制。由于数字信号只有“0”和“1”两个不同的状态，因此在计算机和数字电路中，常用的是二进制数。此外还有八进制数、十六进制数等，例如，25（10）=（11001）（2）=31（8）=19（16）。

（1）十进制数中的0～15所对应的不同数制的表示方法如表1.2所列。

表1.2 几种常用数制对照表

十进制是“满10进1”，对于任意一个十进制数，用多项式表示为：

上式中，ai=0、1、2、3、…、9，是10i位的系数，称为十进制数的基数；

n为整数部分的位数；

m为小数部分的位数。

例如，25（10）=2×101+5×100=20+5

（2）类似地，二进制数是“满2进1”，对于任意一个二进制数，用多项式表示为：

式中，ai=0、1，是2i位的系数，称为二进制数的基数；

n为整数部分的位数；

m为小数部分的位数。

例如，11001（2）=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=16+8+0+0+1=25（10）

1.3.2 不同数制间的转换

1.十进制数转换为二进制数、八进制数和十六进制数

转换的方法是：整数部分采用“除基取余”法。即将十进制数的整数部分逐次被基数N所除，每次除完后所得的余数便为要转换的数码，直到商为0时止。第1个余数为最低位，最后一个余数为最高位。小数部分则采用“乘基取整”法，即将十进制数的小数部分乘以基数C，乘积的整数部分作为N进制数的小数部分。第1个取出的整数为最高位，最后一个取出的整数为最低位。

例1.1 将十进制数29.437（10）转换成二进制数。

解：①整数部分29（10），采用“除2取余”法转换。

所以，29（10）=11101（2）

②小数部分0.437（10），采用“乘2取整”法转换。

所以，0.437（10）=0.01101（2）

由此可得：29.437（10）=11101.01101（2）

例1.2 将十进制数161.437（10）分别转换为八进制数和十六进制数。

解：①整数部分采用“除基取余”法，它们的基数分别为8和16。

所以，161（10）=241（8）=A1（16）

②小数部分转换采用“乘基取整”法

所以，0.437（10）=0.33757（8）=0.6FDF3（16）

由此可得：161.437（10）=241.33757（8）=A1.6FDF3（16）

2.二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数

数码和位权值的乘积称为加权系数，各位加权系数相加的结果便为对应的十进制数。

例1.3 将10110.011（2）、621.34（8）、2AD.C7（16）分别转换为十进制数。

解：①10110.011=1×24+1×22+1×21+1×2-2+1×2-3=22.375（10）

②621.34（8）=6×82+2×81+1×80+3×8-1+4×8-2=401.4375（10）

③2AD.C7（16）=2×162+10×161+13×160+12×16-1+7×16-2=685.7773（10）

3.二进制数与八进制数、十六进制数间的相应转换

（1）二进制数与八进制数的相应转换。因为23=8，即每位八进制数由3位二进制数构成。所以整数部分从低位开始，每3位二进制数为一组，最后一组不是3位，则在最高位加0补足3位，然后用对应的八进制数来代替，再按原顺序排列与出对应的八进制数。

例1.4 将十进制数11011010.01110101（2）转换为八进制数。

解：

所以，11011010.01101（2）=332.325（8）

将每位八进制用3位二进制数来代替，再按原来的顺序排列起来，便得到了相应的二进制数。

例1.5 将八进制数651.463（8）转换为二进制数。

解：

所以，651.463（8）=110101001.100110011（2）

（2）二进制数和十六进制数间的转换。由于十六进制数的基数16=24，即每位十六进制数由4位十进制数构成。所以二进制数的整数部分从低位开始，每4位分为一组，最后一组不是4位时，则在高位加0补足4位为止。小数部分从高位开始，每4位二进制数为一组，最后一组不是4位时，在低位加0补足4位，然后用对应的十六进制数来代替，再按顺序写出对应的十六进制数。

例1.6 将二进制数10111011011.100101（2）转换成十六进制数。

解：

所以，10111011011.100101（2）=5DB.94（16）

例1.7 试将十六进制数4EB3.98D（16）转换成二进制数。

解：

所以，4EB3.98D（16）=100111010110011.100110001101（2）

1.3.3 编码

1.几种常用的编码

将十进制数的0～9十个数码用二进制数表示的代码，称为二-十进制编码，简称为BCD（Binary Coded Decimal）代码。由于4位二进制代码可以组成16种不同的组合，从中选出十种组合可以有多种方案，所以BCD码有多种方案。常见的BCD代码如表1.3所列。根据BCD码代码中每一位是否有固定的位权，可将其分为有权码和无权码两种类型。

表1.3 常见的BCD代码

（1）8421BCD码是常用的有权码，其4位二进制码从高位到低位的权依次是8、4、2、1，所以把这种代码叫做8421码。它具有简单、自然、容易识别的特点，在数字系统中得到广泛的应用。

（2）2421BCD码也是一种有权码，其4位二进制码从高位到低位的权依次为2、4、2、1。2421码不具备单值性，为了与十进制码一一对应，2421码不允许出现0101～1010的6种状态。2421码是一种对9的“自补代码”，这种特性有利于计算机中对十进制数的运算。

（3）余3码是由8421码加上0011形成的一种无权码。由于它的每个字符编码在数值上比相应的8421码多3，故称为余3码。在余3码中，十进制字符0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的各码位互为相反，也是一种对9的“自补代码”，即对其按位求反就可求得对9的补码，因而也可给计算机运算带来方便。

2.可靠性编码

代码在形成和传输过程中难免要产生错误，为了使代码形成时不易出错，或者在出现错误时容易发现并进行校正，需要采用可靠性编码。常用的可靠性代码有格雷码、奇偶校验码等，分别如表1.4、表1.5所列。

表1.4 格雷码与二进制码对照表

表1.5 8421BCD奇偶校验码

（1）格雷码。格雷码是一种无权码，它有多种形式，典型4位格雷码的编码顺序如表1.4所列。它的特点是任意两组相邻代码之间只有一位不同，其余各位都相同，而最大数（2n-1）和0所对应的两组格雷码之间也只有一位代码不同，因此它是一种循环码。该特性使格雷码在产生和传输过程中引起的误差极小。如计数器每接收一个CP脉冲使输出状态更新，只有一位代码变化，显然减少了计数错误的概率。

（2）奇偶校验码。为了能及时发现和校正二进制信息在传送过程中可能出现的误码，提高设备的抗干扰能力，常采用奇偶校验码。它由两部分组成：一部分是需要传送的信息本身，是位数不限的二进制代码；其末尾数位是“1”的位数的奇偶校验位，其数值为0（或为1）对应信息码中“1”码的个数为奇数（或为偶数）。“1”码的个数为奇数称为奇校验，“1”码的个数为偶数称为偶校验，如表1.5所列。奇数个“1”校验码在传送过程中多一个“1”（或少一个“1”），就会变成偶数个“1”码，于是用奇校验电路就可以发现传送过程中的错误。同理，偶校验码在传送过程中出现的错误也会容易被发现。

3.二进制原码、补码和反码

（1）原码。原码又称“符号+绝对值”表示法。为了表示二进制数中的正、负数，用符号位加上数的绝对值的方法来表示，其中符号位“0”表示正数，“1”则表示负数。例如，（+45）10的原码可表示为（0101101）原，这里，最高位的0是代表正数的符号位，而后六位是代表45这个数的绝对值的二进制表示。又如，（-45）10的原码可表示为（1101101）原，最高位的1代表负号，后六位是代表数的绝对值。

例1.8 求（-28）10的原码表示形式。

解：（-28）10=（111100）原

（2）反码。反码又称“对1的补数”。其表示规则是：正数的二进制数反码表示同原码一样，负数的二进制数反码表示是符号位为1，数值位是各位取反。例如，（+45）10的反码表示同其原码一样，为（0101101）反；（-45）10的反码表示为（1010010）反。注意，这里除最高位为符号位外，其余位是数值位各位取反所得。

例1.9 求（-18）10的反码表示。

解：

（3）补码。补码又称为“对2的补数”。其表示规则是：正数的二进制数补码与其原码相同，负数的二进制数补码是符号位为1，数值位是将原码按位取反后末位加1所得。例如，（+45）10的补码为（0101101）补，表示同其原码一样；（-45）10的补码是在（-45）10的反码基础上末位加1，即表示为（1010011）补。

例1.10 求（-22）10的补码表示形式。

解：（+22）10=（010110）原

（-22）10=（101001）反

（-22）10=（101010）补