1.4 离散系统的状态空间描述_现代控制理论（第2版）-QQ阅读中文幻言网

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1.4 离散系统的状态空间描述

离散（时间）系统是系统的输入、输出和状态变量只在某些离散时刻取值的系统，与其相关的外部数学描述方法有差分方程和系统脉冲传递函数。同样，对于离散系统也可采用状态空间表达式描述，在形式上与连续系统的状态空间描述方法完全类似。本节阐述离散系统的状态空间描述，以及从系统差分方程或脉冲传递函数求离散状态空间表达式的问题即SISO离散系统的实现问题。同样由于状态变量的选择不是唯一的，离散系统的实现也是非唯一的。

1.4.1 离散系统的状态空间表达式

线性离散系统的状态空间表达式的一般形式为

式中，x（k）为系统的n维状态向量；u（k）为系统的r维输入向量；y（k）为系统的m维输出向量；G（k）为n×n维线性离散系统的系统矩阵；H（k）为n×r维线性离散系统的输入矩阵；C（k）为m×n维线性离散系统的输出矩阵；D（k）为m×r维线性离散系统的输入/输出关联矩阵（或直接传递矩阵）。

注意：以上各向量和矩阵均是由t=kT时刻所确定的，其中，k=0，1，2，…；T为采样周期。上式中x（k）为x（kT）的缩略形式，u（k）、y（k）等也为缩略形式。

由式（1-172）可见，离散系统的状态方程描述了（k+1）T时刻的状态与kT时刻的状态及输入量之间的关系，其输出方程描述了kT时刻的输出量与kT时刻的状态及输入量之间的关系。

与连续系统类似，线性离散系统状态空间表达式的方块图如图1-28所示。图中，方块T为单位延迟器，它表示将输入的信号延迟一个节拍，即如果其输入为x（k+1），那么其输出为x（k）。

图1-28 线性离散系统的方块图

对线性定常离散系统而言，G（k），H（k），C（k），D（k）均为常数矩阵，其状态空间表达式为

本节主要针对单变量线性定常离散系统进行分析讨论。

1.4.2 差分方程化为状态空间表达式

连续时间系统中由描述输入、输出关系的微分方程或传递函数建立状态空间表达式的方法完全适用于离散时间系统。化标量差分方程为离散状态空间表达式与化标量微分方程为连续状态空间表达式类似，可分两种情况讨论。

1.差分方程不含输入函数的高阶差分

此时标量差分方程具有如下形式

选取各采样时刻的y（k），y（k+1），…，y（k+n-1）为n个状态变量，即令

由式（1-174）和式（1-175）得一阶差分方程组，即

又输出方程为

根据式（1-176）和式（1-177）可写出向量-矩阵形式的状态空间表达式为

2.差分方程包含输入函数的高阶差分

此时描述单输入单输出线性定常离散时间系统的差分方程为

与连续系统微分方程中包含输入函数导数项时选择状态变量类似，可选取如下一组状态变量

式中，待定系数β0，β1，…，βn-1由下式确定

令

则由式（1-180）、式（1-181）和式（1-182）得离散系统式（1-179）的状态空间表达式为

【例1-22】设一个3阶差分方程为

y（k+3）+5y（k+2）+7y（k+1）+3y（k）=u（k+1）+2u（k）

求相应的离散状态方程和输出方程。

解差分方程的系数为

a1=5，a2=7，a3=3，b0=0，b1=0，b2=1，b3=2

由式（1-181）和式（1-182）可求得相应的系数βi为

β0=0，β1=0，β2=1，β3=-3

则根据式（1-183）得离散状态空间表达式为

对应离散系统状态空间表达式的结构图如图1-29所示，其中z-1为单位延迟环节。

图1-29 例1-22离散系统的结构图

1.4.3 由脉冲传递函数化为状态空间表达式

设线性定常离散系统的脉冲传递函数为

式中，Y（z）为输出的Z变换；U（z）为输入的Z变换。根据式（1-184）可写出输出量与输入量之间的差分方程，然后利用1.4.2节所述方法转换为离散状态空间表达式。实际上，式（1-184）和线性定常连续系统传递函数式（1-124）形式类似，故也可仿照1.3.3节中连续系统的实现方法将脉冲传递函数化为离散状态空间表达式。

例如，可仿照1.3.3节连续系统实现的级联分解法推导式（1-184）对应的离散状态空间表达式。将式（1-184）改写为